Seite - 232 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

232 I. Kurven dritter Ordnung folgen oder die Kurve ha¨tte einen Doppelpunkt, fu¨r den x=α sich erga¨be. Diesen Fall haben wir aber ausgeschlossen. Ist nun α3<α2<α1, wenn diese Gro¨ssen reell sind, und α3 die reelle Wurzel,wennzweikonjugirt imagina¨r sind, sonehmemandieGerade,welche durchx=α3 parallel zury-Achsegeht, zurneueny-Achseunddiedurchden Beru¨hrungspunkt parallel zur x-Achse gehende Gerade zur neuen x-Achse. Auf dieses Koordinatensystem bezogen wird die Gleichung der Kurve die Form haben f(x,y) =B3xy 2 +C2y 2 +2B2xy+A2x 2 +A1x= 0. (6) Die Gleichung (5) wird (A2x+A1)(B3x+C2)x−B22x2≡A2B2x(x−a1)(x−a2) = 0, wobei a1 =α1−α3, a2 =α2−α3, also a1>a2>0, wenn α1, α2, α3 reell waren und a1 = a+ ib, a2 = a− ib, wenn α1, α2 konjugirt imagina¨r waren. Fig. 55. Der PunktM, dessen Koordinaten x=−C2 B3 =m, y=−A1 +A2m 2B2 =n sind, istder reelleSchnittpunktderAsym- ptote des unendlich fernen Punktes der KurveC3 auf der y-Achse (Fig. 55). Die Koordinaten y= 0, x=−A1 A2 = l geho¨ren dem dritten SchnittpunkteL der Kurve mit derx-Achse an. Wird − 2n m− l=λ, gesetzt, so wird die Gleichung (6) die Form annehmen: %(x−m)y2 +2xy+λx(x− l) = 0, wobei %= B3 B2 .