Seite - 237 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

237 I. a1,a2 sind reell,κ also reell und kleiner als 1. Die Periode 4K ist reell, 2iK′, rein imagina¨r. DieGleichungen(11), indenen √ a1a2, 2ac,m reelleGro¨ssensind, zeigen, dassxund y nur dann reell sind, wenn su, c2uund cu∆u gleichzeitig reell sind. Ein Blick auf die Figuren 26, S. 133 la¨sst uns erkennen, dass diess nur der Fall ist fu¨r reelle Werte von u undu−iK′.Umgekehrtmu¨ssensich fu¨ru reelleWerteodersolche von der Formu+ iK′ (u reell) ergeben, wennx und y (d. h. der Punkt der Kurve) reell sind. In diesem Falle besteht also die Kurve dritter Ordnung aus zwei getrenntenZu¨gen,vondenendereinereellenWertenu,derandere Wertenu+ iK′ (u reell) entspricht. Da der PunktM (Fig. 55) x=m, y= n ein reeller Punkt der Kurve ist, so istµ oderµ− iK′ reell. II. a1, a2 sind konjugirt imagina¨r,κ ist rein imagina¨r,K reell und K1 = 2K+ iK ′,K′wieder reell. DieFiguren27,S.136 lehrenuns,dasssu,c2uundcu∆unurreell sind fu¨r reelle Werte von u, dass also die Kurve in diesem Falle nur aus einem reellen Zuge besteht, dessen Punkte den reellen Werten vonu entsprechen. µmuss in diesem Falle reell sein. Da die Funktionen ϕ(u) und Φ(u) blos reelle Konstanten enthalten, so werden Werten von u von der Form u+ iu′′ und u′− iu′′ auch konjugirt imagina¨re Werte vonϕ(u) undΦ(u) entsprechen, d. h. die den Argumenten u′+ iu′′ und u− iu′′ entsprechenden imagina¨ren Punkte vonC3 liegen auf einer reellen Geraden. 4. Wirko¨nnendieNull-undUnendlichkeitspunktederFunktionenϕ(u)und Φ(u) leicht angeben und dann diese Funktionen direkt durch ϑ-Funktionen ausdru¨cken. Es wird ϕ(u) =∞ fu¨r u= K, K, ϕ(u) = 0 u=3K,3K. Jede dieser Stellen ist eine doppelte. Φ(u) wird ∞ fu¨r u=3K, und 2K−µ, Φ(u) ∞ u= K, −µ.