Seite - 242 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

242 I. Kurven dritter Ordnung und ϕ1(u+Ω) =−ϕ1(u) ϕ2(u+Ω) =−ϕ2(u) ϕ3(u+Ω) =−ϕ3(u) ϕ1(u+ Ω′ 3 ) =−εϕ1(u)e(2u+ Ω′ 3 ) pii Ω ϕ2(u+ Ω′ 3 ) =−ε2ϕ2(u)e(2u+ Ω′ 3 ) pii Ω ϕ3(u+ Ω′ 3 ) =−ϕ3(u)e(2u+ Ω′ 3 ) pii Ω                          (17a) wobei ε= e 2pii 3 , ε3 = 1 ist. Ferner ergiebt sich ϕ1(−u) =−ϕ2(u) ϕ2(−u) =−ϕ1(u) ϕ3(−u) =−ϕ3(u)      (17b) Vermo¨ge der Gleichungen (17a) erkennt man, dass χ(u) = [ϕ1(u)] 3 +[ϕ2(u)] 3 +[ϕ3(u)] 3 ϕ1(u)ϕ2(u)ϕ3(u) eine doppeltperiodische Funktion mit den PeriodenΩ und 13Ω ′ ist. Dieselbe kann nur unendlich werden, wenn eine der Funktionen ϕi(u) verschwindet. Es ist aber ϕ1(u) = 0 fu¨r u= 2Ω 3 , 2Ω 3 + Ω′ 3 , 2Ω 3 −Ω ′ 3 ϕ2(u) = 0 u=−2Ω3 ,− 2Ω3 +Ω ′ 3 ,− 2Ω3 −Ω ′ 3 ϕ2(u) = 0 u= 0, Ω′ 3 , −Ω ′ 3 und fu¨r die um ganzzahlige Vielfache vonΩ,Ω′ verschiedenen Werte von u. Von diesen Werten fallen aber in das ParallelogrammΩ, Ω ′ 3 nur u= 0, u=Ω3 ,u= 2Ω 3 , also kannχ(u) nur fu¨r diese Werte unendlich werden. Es ist aber ϕ1(0) =−ϕ2(0), ϕ3(0) = 0, wie aus den Gleichungen (17b) folgt, also verschwindet fu¨r u= 0 auch der Za¨hler vonχ(u) und da der Nenner nur einfach null wird, so wirdχ(0) nicht unendlich gross sein. Es ist auch ϕ2 ( Ω 3 ) = 0, ϕ1 ( Ω 3 ) =−ϕ3 ( Ω 3 ) ϕ1 ( 2Ω 3 ) = 0, ϕ2 ( 2Ω 3 ) =−ϕ3 ( 2Ω 3 ) ,