Seite - 244 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

244 I. Kurven dritter Ordnung und der Gleichung (A) nur ein bestimmtes Wertepaar von x1x3 und x2 x3 und also aus (15) nur ein bestimmter Wert von u, da dieser den Punkten der Kurve eindeutig zugeordnet ist.∗) Das heisst aber, die eindeutige doppelt- periodische Funktion λ= a1ϕ(u)+a2Φ(u)+a3 b1ϕ(u)+b2Φ(u)+b3 nimmt jedenWertλnur fu¨r einenWertvonuan,wa¨realso einedoppeltperi- odische Funktion erster Ordnung, die aber nach Satz 14, S. 66 nicht existiren kann, wenn sie sich nicht auf eine Konstante reduzirt. 6. Es seien x= x1 x3 =ϕ(u), y= x2 x3 =Φ(u) die Gleichungen (15) der Kurve dritter Ordnung f(x,y) = 0, und F(x,y) = 0 seidieGleichungeinerbeliebigenKurventer Ordnung, inderalsowenigstens ein Gliednter Dimension vorkommen muss. Die Funktion F ( ϕ(u),Φ(u) ) =χ(u) wird eine doppeltperiodische Funktion mit den PeriodenΩ,Ω′wieϕ(u) und Φ(u) sein, ihreOrdnung ist3n, dennsiewird fu¨ru=γ1,γ2,γ3 jevondern ten Ordnung unendlich, da ein Glied von der Formxkyn−k inF(x,y) auftreten muss. Es wird alsoχ(u) auch fu¨r 3nWerte vonu :u1,u2 . . .u3n verschwinden, wenn wir voraussetzen, dass jeder Wertuk, fu¨r den nicht blosχ(u), sondern auch dχ du , d2χ du2 , . . . dh−1χ duh−1 verschwindet, als h-facher Nullpunkt geza¨hlt wird, da in ihm χ(u) h-mal verschwindet. ∗) Da x1x3 und x2 x3 doppeltperiodische Funktionen mit den Perioden 4K=Ω und 2K1= Ω′ sind, so lassen sich s(u) und s′(u) rational durch x1x3 und x2 x3 ausdru¨cken und durch die Werte von s(u) und s′(u) ist das Argumentu bis auf ganzzahlige Vielfache von Perioden bestimmt.