Seite - 245 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

245 Fu¨r jeden Wertu1, fu¨r denχ(u1) = 0 ist, ergeben sich nun x1 =ϕ(u1), y1 =Φ(u1) als Koordinaten eines Punktes von f= 0, die auch der Gleichung F(x,y) =F ( ϕ(u),Φ(u) ) = 0 genu¨gen, d. h. die auch auf der KurveF(x,y) = 0 liegen. Fu¨r jeden Wertuk, fu¨r denχ(uk)h-mal verschwindet, wirdF(x,y) = 0 die Kurve f(x,y) = 0 in h aufeinander folgenden Punkten schneiden, der Punkt za¨hlt also als soviel Schnittpunkte beider Kurven, alsuk in die Reiheu1,u2 . . .u3n eingeht. Daχ(u) fu¨r u= γ1,γ2,γ3 nur je von der n ten Ordnung unendlich wird, so muss nach Satz 15, S. 68 u1 +u2 +u3 + · ··+u3n≡nγ (mod.Ω,Ω′) (A) sein. Es ist nun wichtig die Umkehr dieses Satzes zu beweisen, d. h.: Hat man 3n beliebige Argumente u1,u2, . . . ,u3n, welche der Gleichung (A) genu¨gen, so liegen die ihnen entsprechenden Punkte der Kurve dritter Ordnung stets auf einer Kurve nter Ordnung. Denn legt man durch die 3n− 1 Punkte, denen die Argumenteu1,u2 . . .u3n−1 entsprechen, eine Kurventer Ordnung, was stets mo¨glich ist, [da diese durch 12n(n+ 3) Punkte bestimmt ist und 1 2n(n+ 3) > 3n− 1 ist, sobald n > 2 fu¨r n = 2 und n = 1 ist, aber 1 2n(n+3) = 3n−1], sowirddieselbedieKurvedritterOrdnungnoch ineinem einzigen Punkte schneiden, dessen Argumentu′der Gleichung genu¨gen muss u1 +u2 + · ··+u3n−1 +u′=nγ+kΩ+kΩ′ (k,k′ ganze Zahlen) und da zwischen u1 . . .u3n−1,u3n die Kongruenz (A) besteht, so folgt aus derselben und der eben hingeschriebenen Gleichung u′=u3n=λΩ+λ′Ω′, woλ,λ′ irgendwelcheganzeZahlensind.Daaberϕ(u)undΦ(u)diePerioden Ω undΩ′ besitzen, so ist der Punkt, dessen Argument u′ ist, derselbe wie der, dem das Argumentu3n zuko¨mmt. Sollen also drei Punkte auf einer Geraden liegen, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafu¨r, dass die ihnen zukommenden Argumente der Bedingung genu¨gen u1 +u2 +u3≡γ (mod.Ω,Ω).