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252 I. Kurven dritter Ordnung d. h.uhat die vier Werte 1 2c, 1 2c+ Ω 2 , 1 2c+ Ω′ 2 , 1 2c+ Ω+Ω 2 ; zufolge der Kongruenz 2u+(γ−c)≡γ ersieht man aber, dass diese vier Punkte Tangenten besitzen, welche durch den Punkt, dessen Argument (γ−c) ist, hindurch gehen und da von einem beliebigenPunktederKurveandieselbenurvierTangentengehen∗) , so sind die vier zusammenfallenden Punkte der TransformationT diejenigen, in wel- chen die Geraden des Bu¨schels, welcher die Transformation T hervorbringt, die Kurve beru¨hren. InS ko¨nnen zwei entsprechende Elemente nicht zusammenfallen, da aus u≡ v auch c≡0 folgen wu¨rde, alsoS die Identita¨t wa¨re. Die Verbindungs- geraden entsprechender Punkte hu¨llen im Allgemeinen eine Kurve 6. Klasse ein, die 3. Klasse wird, wenn c eine halbe Periode ist. [Vergl. Harnack, Math. Ann. Bd. IX, S. 96.] Man erkennt nun leicht, dass die neun Kollineationen u=−v+ 2 3 γ+ µΩ+µ′Ω′ 3 involutorische Centralkollineationen mit einem Wendepunkte als Kollineati- onscentrum sind, deren Kollineationsaxe die harmonische Polare des Wen- depunktes ist, d. h. die Gerade, welche die Beru¨hrungspunkte der drei vom Wendepunkte noch an die Kurve gehenden Tangenten entha¨lt. Diese Gerade muss daher jeden Strahl durch den zugeho¨rigen Wendepunkt so schneiden, dass der Schnittpunkt den Wendepunkt harmonisch trennt von den zwei an- dern Schnittpunkten des Strahles mit der Kurve. Kombinirtman irgendzweidiesercentralenKollineationen, soerha¨ltman eine KollineationS, fu¨r die u=v+ µΩ+µ′Ω′ 3 ∗) Denn soll die Tangente eines Punktesudurch den Punktv gehen, so muss 2u+v≡γ sein, d. h.u kann nur die vier Werte −12(v−γ),−12(v−γ)+Ω2 ,−12(v−γ)+Ω ′ 2 ,−12(v−γ)+Ω+Ω ′ 2 haben. Vergl. des weitern: Harnack, Mathematische Annalen, Bd. IX, S. 1. Ist der Punkt v ein Wendepunkt, also v= 13γ+ νΩ+ν′Ω′ 3 , so u¨berzeugt man sich leicht, dass einer der vier Punkte mit ihm zusammenfa¨llt, und dass die drei u¨brigen dann auf einer Geraden liegen.