Seite - 257 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

257 man den Punkt x die KurveF= 0 durchlaufen, so wird ξ die Kurve f= 0 durchlaufen, und wenn man auf dem einen oder anderen Zuge, derF= 0, in einen Doppelpunkt gelangt, wird man zu verschiedenen Punkten der Kurve f= 0 kommen. DanundurcheinenPunktξderf= 0einBu¨schelvonGeradenbestimmt ist, dem in der Ebene vonF= 0 ein Bu¨schel von Kurven (n−2)ter Ordnung entspricht, die sich nur in einem auf F = 0 gelegenen Punkte schneiden, wa¨hrend die anderen Schnittpunkte ausserhalbF= 0 fallen, so werden auch die Punkte von F = 0 den Punkten von f = 0 eindeutig entsprechen oder die Gleichungen (3) sind mit Ru¨cksicht auf die Gleichung (1) rational nach geschrieben werden ko¨nnen. Es sei nun fu¨r einen der festen Punktex=x1, y=y1 fu¨r die also ϕ1(x1,y1,1) = 0, ϕ2(x1,y1,1) = 0, ϕ3(x1,y1,1) = 0 ist, dann ist aber ξ= [ ϕ1(x,y,1) ϕ3(x,y,1) ] (x=x1y=y1) = [ ∂ϕ1 ∂x + ∂ϕ1 ∂y dy dx ∂ϕ3 ∂x + ∂ϕ3 ∂y dy dx ] (x=x1y=y1) η= [ ϕ2(x,y,1) ϕ3(x,y,1) ] (x=x1y=y1) = [ ∂ϕ2 ∂x + ∂ϕ2 ∂y dy dx ∂ϕ3 ∂x + ∂ϕ3 ∂y dy dx ] (x=x1y=y1) wo dy dx =− ∂F(x,y,1) ∂x ∂F(x,y,1) ∂y ist, vollsta¨ndig bestimmt, wenn (x1,y1) kein Doppelpunkt ist. Ist aber letzteres der Fall, dann wird dxdy die Form 0 0 annehmen und man hat dann fu¨r dy dx die beiden Werte zu setzen, die sich ergeben, wenn man sich dem Doppelpunkte auf dem einen oder andern Zuge, d. h. in der Richtung der Doppelpunktstangenten na¨hert, wodurch fu¨r die beiden Richtungen sich zwei verschiedene Werte von ξ, η, also zwei verschiedene Punkte der Kurve f = 0 ergeben.