Page - vii - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

vii s(mu) dru¨ckt sich rational durch suund s′u aus . . . . . . . . 106 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. . . . . . . . . . 108 29. Ableitung einiger Formeln fu¨r das Additionstheorem der Thetafunk- tionen aus den Additionstheoremen der elliptischen Funktionen. . 108 30. Aufstellung der allgemeinen Additionsformel fu¨r die Produkte von vier Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 31. Entwicklung des Additionstheorems der elliptischen Funktionen aus jenem der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 32. Bestimmungen vonG= ϑ′1ϑ3 ϑ0ϑ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 VII. Realita¨tsbetrachtungen fu¨r die Funktionen su,cu,∆u. . . . 130 33. Allgemeines u¨ber die reellen Werte von su, cu, du 1) Behandlung des Falles einer reellen und einer rein imagina¨ren Periode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2) Die Periodeω ist reellω′=ω+ω′1i, woω′1 reell ist. . . . . . 134 VIII. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen etc. . . 137 34. Jede doppeltperiodische Funktion mit den Perioden ω,ω′ la¨sst sich ausdru¨cken durch Z(u−α) = dlogϑ1(u−α)du und die Ableitungen vonZ(u−α) nachu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 II. Theil Elliptische Integrale I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y.. . . . . . . . . . 142 35. Das IntegralGu= ∫ξ 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) definirt eine eindeutige Funk- tion ζ vonu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 36. Das Verhalten der Funktion y= √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) . . . . . . . . . . . 144 37. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y . . . . . . . . . . . . 147 38. Auf der construirten Riemann’schen Fla¨che existiren blos zwei ge- schlossene Linien, die keinen Theil derselben vollsta¨ndig begrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 II. Funktionen auf der Riemann’schen Fla¨che . . . . . . . . . 154 39. Die rationalen Funktionen von x und y sind eindeutige Funktionen des Ortes auf der Fla¨che. Das Integral w = ∫x x0 dx y ist unendlich vieldeutig in bestimmter Art . . . . . . . . . . . . . . . . 154 40. Na¨here Bestimmung der Elementarperioden. . . . . . . . . . . 158