Page - viii - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

viii 41. Andere Zerschneidungen der Riemann’schen Fla¨che geben Perioden, welche durch die fru¨her gefundenen ausdru¨ckbar sind . . . . . . 160 42.w(x) = ∫x x0 dx y wird auf der Riemann’schen Fla¨che nicht unendlich . 161 43.w(x) bildet die zerschnittene Riemann’sche Fla¨che auf eine paralle- logrammartige Figur ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 44.xund y sind eindeutige doppeltperiodische Funktionen vonw . . . 167 Jede eindeutige Funktion des Ortes auf der Riemann’schen Fla¨che der Funktion y ist eine rationale Funktion vonxund y . . . . . 167 III. Das elliptische Normalintegral . . . . . . . . . . . . . . 169 45. Das Normalintegralu= ∫z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) bestimmt z als doppelt- periodische Funktion, welche fu¨r u und 2K−u dieselben Werthe annimmt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 46. Wert vonu, fu¨r den z=∞wird. . . . . . . . . . . . . . . . 172 47. z dru¨ckt sich durch Thetaquotienten vonu aus . . . . . . . . . 173 Verwandlung des krummlinigen Parallelogrammes in ein geradliniges. . 174 48. Abbildung der Riemann’schen Fla¨che durch das Integral u= ∫z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) 1) wennκ reell und kleiner als 1 ist . . . . . . . . . . . . . 175 2) wennκ rein imagina¨r ist . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 49. Transformation des Integralsw= ∫x x0 dx√ R(x) auf die Normalform— R(x) vom 4. Grade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 50. Werte vonκ bei gegebenem a1,a2,a3,a4 . . . . . . . . . . . . 183 51.R(x) ist vom dritten Grade. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 52. Das Legendre’sche Normalintegral und das ganze elliptische Integral 185 IV. Integrale II. und III. Gattung . . . . . . . . . . . . . . 188 53. Das Normalintegral II. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . 188 54. Elliptische Integrale III. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . 191 55. Reduktion des allgemeinen elliptischen Integrals auf die drei Normal- integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 V. Berechnung des Normalintegrals . . . . . . . . . . . . . 200 56. Reihenentwicklung fu¨ru= ∫z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) . . . . . . . . . 200 57. Berechnung von q durchκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 58. Berechnung des Normalintegrals II. Gattung durch das Normalinte- gral I. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 59. Berechnung des Normalintegrals III. Gattung durch das Normalinte- gral I. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218