Page - ix - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

ix VI. Das Additionstheorem fu¨r die Integrale I. und II. Gattung 221 60. Aus der Gleichung ∫z1 0 dx y+ ∫z2 0 dx y= ∫z3 0 dx y ergiebt sich eine Relation zwischen z1,z2,z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 VII. Integrale doppeltperiodischer Funktionen . . . . . . . . 223 61. Das ∫ F(u)du, woF(u) eine eindeutige doppeltperiodische Funktion von u ist, mit den Periodenω,ω′ la¨ßt sich durch Logarithmen der ϑ1-Funktion undZ (n)(u) = dn logϑ1(u) du ausdru¨cken . . . . . . . 223 Anhang Anwendung der Theorie der elliptischen Funktionen auf Kurven nter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten. . . . 228 I. Kurven dritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 1. Allgemeine Uebersicht der Aufgabe.. . . . . . . . . . . . . . . 229 2.DieKoordinatenderPunktederKurve3.Ordnungdru¨ckensichdurch su,cu,∆u rational aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 3. Verlauf einer reellen Kurve 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 236 4. Die Koordinaten der Kurvenpunkte sind ausdru¨ckbar durch je ein Produkt von dreiΘ-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 237 5. Drei Produkte vonΘ-Funktionen, deren Nullstellen in gewisser Wei- se von einander abha¨ngen, ko¨nnen als homogene Koordinaten der Punkte einer Kurve 3. Ordnung angenommen werden . . . . . . 239 Diese kann keinen Doppelpunkt besitzen. . . . . . . . . . . . 243 6. Nothwendige und hinreichende Bedingung dafu¨r, dass 3nPunkte von C3 auf einer Kurventer Ordnung liegen. . . . . . . . . . . . 244 7. Die Wendepunkte der Kurve 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . 247 8. Eindeutige Transformationen der Kurve 3. Ordnung in sich. . . . . 249 9. Die Gleichung der reellen Kurve 3. Ordnung kann in einer bestimmten Art auf die Form x31 +x 3 2 +x 3 3 +cx1x2x3 = 0 gebracht werden, so dass cund das Koordinatendreieck reell ist . . . . . . . . . . 253 II. Kurven nter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten . . . . 255 10. Die Kurvennter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten sind in eine Kurve3.OrdnungohneDoppelpunkt inrationalumkehrbarerWeise transformirbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.DieKoordinatenderPunkte einerKurventer Ordnungmit 12n(n−3) Doppelpunkten sind als eindeutige doppeltperiodische Funktionen nter Ordnung eines Parametersu darstellbar. . . . . . . . . . 259