Page - 10 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

10 Einleitung. zeigen, dass die Umgebung von z′ = 0 auf die Umgebung w = βδ in den kleinsten Theilen a¨hnlich abgebildet wird, so wird auch die Umgebung von z =∞ auf die Umgebung von w = βδ in den kleinsten Theilen a¨hnlich abgebildet. Nun ist aber w= α+βz γ+δz = αz′+β γz′+δ · ··z= 1 z′, also dw dz′=− (βγ−αδ) (γz′+δ) und dw dz′ fu¨r z ′= 0 endlich, daher die Abbildung der Umgebung von z′= 0 aufw= βδ in den kleinsten Theilen a¨hnlich. Es wird ferner dwdz =∞ fu¨r z = −γδ , also ko¨nnte die Abbildung der Umgebung des Punktes z = −γδ eine Ausnahme erleiden. Da aber dieser Punkt zum entsprechenden hatw=∞, so fu¨hren wir wiederw= 1 w′ ein und ersehen, dass fu¨r w′= 1 w = γ+δz α+βz , fu¨r welches dw′ dz = αδ−βγ (α+βz)2 fu¨rz=−γδ endlich ist,dieUmgebungdesPunktesz=−γδ aufdieUmgebung w′= 0 in den kleinsten Theilen a¨hnlich abgebildet wird, d. h. dass auch die Umgebung von z=−γδ auf die Umgebung vonw=∞ isogonal abgebildet ist. Die lineare Funktionw= α+βzγ+δz bildet daher die z-Ebene ausnahmslos in den kleinsten Theilen a¨hnlich auf diew-Ebene ab. Da aus w= α+βz γ+δz z= α−γw −β+δw folgt, so ergiebt sich, dass auch diew-Ebene auf die z-Ebene ausnahmslos in den kleinsten Theilen a¨hnlich abgebildet wird durch die Funktion w= α+βz γ+δz .