Page - 15 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

15 Die Funktion w= (√ 1−z)3 , fu¨r welche dw dx =−3 2 √ 1−z fu¨r z = 1 verschwindet, verha¨lt sich in der Umgebung des Punktes z = 1 analog, nur dass fu¨r z= 1−%eiϕ, w=%32ei3ϕ2 ist,alsozweiRichtungen,dievonz= 1ausgehenddenWinkelϕmiteinander bilden, in derw-Ebene zwei Richtungen vonw= 0 ausgehend entsprechen, welche den Winkel 3ϕ2 mit einander bilden. Dem Punkte z1 fu¨r den ϕ = 0,2pi,4pi ist, werden die Punkte w1 =% 3 2, w2 =% 3 2ei3pi und w1 =% 6 2ei6pi entsprechen. Fig. 9. 5. Istw=f(z) eine bestimmte Funktion von z, so dass dw dz von z unabha¨ngig ist und z0 ein Wert von z, fu¨r den dw dz weder null noch unendlich ist, so wirdw0 = f(z0) einen derartigen Wert besitzen, dass die Umgebung von z0, die wir so wa¨hlen, dass keiner der Punkte, fu¨r den dw dz = { 0∞ wird, in dieselbe hineinfa¨llt, in den klein- sten Theilen a¨hnlich auf die Umgebung des Punktesw0 durchdieFunktionw=f(z)abgebildetwird.Lassenwir z durch stetige Aenderung von z0 nach z1 u¨bergehen (Fig. 9), ohne dass der Weg z0tz1 aus der vorhin be- stimmten Umgebung hinaustritt, so wird w0 zu einem Werte w1 gelangen; es fra¨gt sich, ob, wenn wir einen anderen Weg z0qz1 wa¨hlen,w0 wieder den Wertw1 erreicht. Betrachten wir zuna¨chst zwei Wege des z, welche unendlich nahe anein- ander fortlaufen. z0tz1 und z0t ′′z1. Istdann tt′ einElementdes erstenWegesund t′′der tbenachbartePunkt auf z0t ′′z1, so wird f(t′)−f(t) t′− t = f(t′′)−f(t) t′′− t =ϕ(t)