Page - 17 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

17 des Punktes∞, so setze man z= 1 z′, w= ( 1 z′−a )n = 1 z′n ( 1−az′)n , 1 w = z′n 1 (1−az′)n, woraus ersichtlich, dass 1w eine eindeutige Funktion von z ′ ist in der Um- gebung von z′ = 0 und also auch eine eindeutige Funktion von z in der Umgebung von z=∞, und mithin ist auchw eine eindeutige Funktion von z in der Umgebung von z=∞. Die Funktionw= (z−a)np , wo n und p relativ prim sind und p nicht gleich1 ist, ist einevieldeutigeFunktion inderUmgebungdesPunktesz=a und z=∞. Denn setzt man z−a=%eiϕ, so wird w=% n pe iϕnp . Da nun e 2nppii nicht = 1 ist, so wird, wenn z einen geschlossenen Weg um den Punktabeschreibt,ϕalso um 2piwa¨chst,wnicht seinen urspru¨nglichen Wert erlangen. DieWertevonwwerdenalsovondenWegen,welchezbeschreibt, abha¨n- gen. Hieraus ersieht man, dassw= (z−a)nwohl eine eindeutige Funktion von z ist, aber dass z−a=w1n nicht eine eindeutige Funktion vonw ist. [Siehe das Beispiel sub 4, S. 14.] 6. Wir verstehen unter W= ∫ z z0 f(z)dz Fig. 11. diejenige Funktion von z, fu¨r welche dWdz = f(z) ist. Es fra¨gt sich, unter welchen Umsta¨nden wirdW von dem Integrationswe- ge abha¨ngen. Nach Vorhergehendem ist ersichtlich, dass zwei Wege, die von z0 nach z fu¨hren, und die keinen der Punkte einschliessen, fu¨r welche f(z) = { 0 ∞ wird, denselben Wert des Integrals liefern. Bezeichnen wir mitW(z0tz) das Integral, genommen la¨ngs z0tz (Fig. 11), so wird also W(z0tz) =W(z0t ′z).