Page - 18 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

18 Einleitung. Da nunW(z0t ′z) = −W(zt′z0) ist, da z dieselben Werte in umgekehrter Reihenfolge durchla¨uft, so folgt W(z0tz)+W(zt ′z0) = 0 oder W(z0tzt ′z0) = 0, d. h. das Integral ∫ f(z)dz genommen la¨ngs eines geschlossenen Weges, wel- cher keinen Punkt einschliesst, fu¨r den f(z) = {0∞ ist, ist gleich Null. Fig. 11a. Dieser Satz ist auch folgendermassen klar: Ist (Fig. 11a) z′0 ein unendlich naher Punkt von z0, so ist, da der Weg z0tzt ′z′0 in den Wegz0z ′ 0 ohneU¨berschreitungeinesAusnahmepunktestransformir- bar ist,W(z0tzt ′z′0) =W(z0z′0); ru¨ckt z′0 nach z0, so wirdW(z0z′0) und daher W(z0tzt ′z0) = 0. 7. Es sei nun f(z) eine eindeutige Funktion innerhalb der Umge- bung des Punktes z= a oder innerhalb der KonturA (Fig. 12a), dieauseinemeinzigenZugebesteht,damit jedegeschlosseneLinie, welcheA nicht u¨berschneidet, sich auf einen Punkt innerhalbA zusammen- ziehen lasse, und es wa¨re b ein Ausnahmspunkt, fu¨r den f(b) = {0∞ Fig. 12a. Fig. 12b. ist. Dann brauchtW(atzt′a) nicht null zu sein. Ista′ ein in der Na¨he von a (Fig. 12b) gelegener Punkt, so wird jedenfalls W(at′z1ta′pqra) = 0, wenn die Wege at′z1ta′ und arqpa′ keinen weiteren Ausnahmspunkt einschliessen, was wir voraussetzen wollen. Daher ist: W(at′z1)+W(z1ta′)+W(a′p)+W(pqr)+W(ra) = 0. Lassen wir also also amit a′ zusammenfallen, so wird W(at′z1)+W(z1ta)+W(ap)+W(pqr)+W(ra) = 0.