Page - 22 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

22 Einleitung. Beachtet man nun, dass das Integral la¨ngsA′ genommen gleich ist dem In- tegral la¨ngsA genommen, daA′ undA in einander u¨berfu¨hrbar sind ohne Ueberschreitung eines Unstetigkeitspunktes, so ergibt sich∫ A f(z)dz= n∑ h=1 ∫ _ bh f(z)dz, wodie Integrale inderRichtungzunehmensind,dassdieUnstetigkeitspunk- te links liegen. Es ist selbstversta¨ndlich,dassAdurchkeinenderUnstetigkeitspunktege- hen darf, und dass innerhalbAnur eine endliche Anzahl von solchen Unste- tigkeitspunkten liegen du¨rfen, damit obiges Raisonnement ohne Aba¨nderung giltig bleibt. 9. Von dem eben abgeleiteten Satze wollen wir eine Anwendung machen. Fig. 14. Es sei F(z) eine eindeutige Funktion von z, welche fu¨r z= a den endlichen Wert F(a) annimmt und wel- che innerhalb des mitR um a geschlagenen Kreises K (Fig. 14) nicht unendlich wird. Es sei t ein beliebiger innerhalbK gelegener Punkt, dann wird f(z) = F(z) z− t nur fu¨r z= tunendlich und es ist daher∫ K F(z)dz z− t = ∫ _ t F(z)dz z− t . Im zweiten Integral ist F(t) der Voraussetzung nach eine endliche Gro¨sse, also ist, wenn z− t=%eiϕ gesetzt wird, fu¨r kleine Werte von % F(z) =F(t+%eiϕ) =F(t)+ε, wo εmit % gleichzeitig null wird, also ist, da dz z− t= idϕ ist, ∫ _ t F(z)dz z− t = i ∫ 2pi 0 F(t)dϕ+ ∫ 2pi 0 εdϕ, und mithin: F(t) = 1 2pii ∫ K F(z)dz z− t ,