Page - 24 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

24 Einleitung. oder 1 z− t= 1 z−a+ t−z (z−a)2 + (t−z)2 (z−a)3 + · ·· und daF(z) fu¨r die in Betracht zu ziehenden Werte z endlich ist, · ··F(z) z− t= F(z) z−a+(t−a) F(z) (z−a)2 +(t−a) 2 F(z) (z−a)3 + · ·· Setzt man also An= 1 2pii ∫ K F(z)dz (z−a)n+1, so wird F(t) =A0 +A1(t−a)+A2(t−a)2 +A3(t−a)3 + · ·· . (A) Es ist A0 = 1 2pii ∫ K F(z)dz z−a =F(a) und da F(t) = 1 2pii ∫ K F(z)dz z− t ist, so folgt [ dnF(t) dtn ] t=a = n! 2pii [∫ K F(z)dz (z− t)n+1 ] t=a =n!An, mithin An= 1 n! F(n)(a), wobei F(n)(a) = [ dnF(t) dtn ] t=a ist. Daher folgt aus (A): F(t) =F(a)+F′(a)(t−a)+F′′(a)(t−a) 2 1 ·2 +F′′′(a)(t−a) 3 1 ·2 ·3 + · ·· , (B) welcheEntwicklung so langegilt, als t innerhalbdesumageschlagenenKrei- ses liegt, der keinen Unstetigkeitspunkt entha¨lt. Umgekehrt ist jedeFunktionF(t), fu¨rwelcheobigeEntwicklunggilt, eine eindeutige Funktion von t, so lange die Reihe rechter Hand convergirt.