Page - 25 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

25 (A) ist eine Potenzreihe von (t−a) und da, sobald diese convergirt, auch alle ihreAbleitungenconvergiren, so ist inderUmgebungeiner solchenStelle adie Funktion mit allen ihren Ableitungen eindeutig. Die oben aufgestellte Form der Reihe fu¨r F(t) ist etwas zu modificiren fu¨r den Fall, dass der Punkt a der Punkt z=∞wa¨re. Setzen wir na¨mlich voraus, dass F(z) fu¨r z =∞ den endlichen WertA annehme und setzen z′= 1z, so wird F(z) =F ( 1 z′ ) =ϕ(z′) und es ist [F(s)]z=∞= [ϕ(z′)]z′=0 =A, d. h.ϕ(z′) ist in der Umgebung von z′= 0 als eindeutige Funktion von z′ in eine Reihe entwickelbar. Wir haben also F ( 1 z′ ) =ϕ(z′) =A+A1z′+A2z′2 +A3z′3 + · ·· , mithin fu¨r z′= 1z, giebt ϕ ( 1 z ) =F(s) =A+ A1 z + A2 z2 + A3 z3 + · ·· alsEntwicklungvonF(z) inderUmgebungvonz=∞d.h. fu¨r solcheWerte von z, deren Modul sehr gross ist. 10. Wird eine Funktion von z fu¨r z = a so unendlich gross, dass (z− b)nf(z) fu¨r z = b endlich und von Null verschieden ist, so heisst b ein n- facher Unendlichkeitspunkt von f(z). Ist b=∞, so heisst dieser Punkt ein n-facher Unendlichkeitspunkt, wenn f(z) zn fu¨r z =∞ endlich und von Null verschieden ist. Analog nennt man den Punkt z=a oder z=∞ einen-fache Nullstelle, wenn [ f(z) (z−a)n ] z=b resp. [znf(z)]z=∞ endlich und von Null verschieden ist. Ist f(z) eine eindeutige Funktion in der Umgebung der Unendlichkeits- oder Nullstelle, so kann dieselbe nur so unendlich oder null werden, dass n eine ganze Zahl bedeutet. Es sei f(z) eine eindeutige Funktion in der Umgebung von z=aund[ f(z) (z−a)n ] z=a =A