Page - 29 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

29 Die Koeffizienten cν,cν−1 . . . ;aµ,a0 ko¨nnen aus der Vergleichung beider Formen von f(z) berechnet werden. Aus der Definition der rationalen Funktion geht hervor, dass Summen, Produkte und Quotienten einer endlichen Anzahl von rationalen Funktionen ebenfalls rationale Funktionen sind. 12. Es sei f(z) eine echt gebrochene rationale Funktion, welche also fu¨r z=∞ den Wert Null annimmt und welche in den Punkten z=a1,a2 . . .am von den Ordnungen n1,n2 . . .nm unendlich wird. Dann wird in der Umgebung des Punktes a1 f(z) = M (1) 0 (z−a1)n1 + M (1) 1 (z−a1)n1−1 + · ··+ M (1) n1−1 (z−a1) +M (1) n1 +M (1) n1+1(z−a)+ · ·· oder wenn ψ(z,a1) = M (1) 0 (z−a1)n1 + M (1) 1 (z−a1)n1−1 + · ··+ M (1) n1−1 (z−a1) gesetzt wird f(z) =ψ(z,a1)+M (1) n1 +M (1) n1−1(z−a1)+ · ·· d. h. [ f(z)−ψ(z,a1) ] z=a1 =M (1) n1 ist endlich. Es kann wohlM (1) n1 = 0 sein, was unwesentlich ist. ψ(z1,a1) ist eine rationale Funktion von z, welche nur fu¨r z=a1 unend- lich wird, fu¨r jeden anderen Wert von z einen endlichen Wert besitzt und fu¨r z=∞null wird, daψ(∞,a1) = 0 ist. Betrachten wir nun ϕ(z) =f(z)− [φ(z,a1)+φ(z,a2)+ · ··φ(z,am)], woψ(z,ah) ausψ(z,a1) erhalten wird, wenn ah,nh,M (h) an Stelle von a1, n1,M (1) gesetzt wird.