Page - 33 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

33 Fig. 15. Setzen wir nun z=Reiϕ, woR sehr gross ist, so wird dz z = idϕ. Also ∫ _∞ d logf(z) =ni ∫ _∞ dϕ. Wenn wir aber (Fig. 15) la¨ngs des KreisesAmit dem RadiusR von 0 bis 2pi integriren, so haben wir einenIntegrationsweggewa¨hlt,beiwelchemderPunkt z=∞ rechts liegt.Wirmu¨ssenalsovon2pibis0 integriren,damitderPunkt z=∞ links liegt und daher ist∫ _∞ d logf(z) =ni ∫ 0 2pi dϕ=−2npii. Ebenso wird, wenn fu¨r grosse Werte von |z| zmf(z) = ψ(z) ist, so dass ψ(∞) =A von Null und Unendlich verschieden ist, f(z) also fu¨r z=∞ von dermten Ordnung null ist,∫ ∞ d logf(z) = 2mpii. Fasst man das Unendlichwerden von f(z) als ein Nullwerden mit negativem Exponenten auf, so sagen die beiden Gleichungen aus, dass ∫ d logf(z) um einen Punkt herum genommen, in welchem f(z) null von dernten Ordnung ist, gleich 2npii ist. [Wird f(z) in dem Punkte von dernten Ordnung unend- lich, so hat man nur−n an Stelle vonn zu setzen.] Fig. 16. Eswerdenundie innerhalbA (Fig. 16) eindeutige Funktion f(z) in den Punkten z=a1,a2, . . .aµ null von den Ordnungen m1,m2, . . .mµ und in den Punkten z= b1,b2 . . .bν unendlich von den Ordnungenn1,n2, . . .nν, wom1 . . .mµ,n1 . . .nν positive ganze Zahlen bedeuten, wobei µ und ν endliche Zahlen sein mu¨ssen, und betrachten wir ∫ A d logf(z) = ∫ A f′(z) f(z) dz