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Fig. 15.
Setzen wir nun z=Reiϕ, woR sehr gross ist, so wird
dz
z = idϕ.
Also ∫
_∞ d logf(z) =ni ∫
_∞ dϕ.
Wenn wir aber (Fig. 15) la¨ngs des KreisesAmit
dem RadiusR von 0 bis 2pi integriren, so haben wir
einenIntegrationsweggewa¨hlt,beiwelchemderPunkt
z=∞ rechts liegt.Wirmu¨ssenalsovon2pibis0 integriren,damitderPunkt
z=∞ links liegt und daher
ist∫
_∞ d logf(z) =ni ∫ 0
2pi dϕ=−2npii.
Ebenso wird, wenn fu¨r grosse Werte von |z| zmf(z) = ψ(z) ist, so dass
ψ(∞) =A von Null und Unendlich verschieden ist, f(z) also fu¨r z=∞ von
dermten Ordnung null ist,∫
∞ d logf(z) = 2mpii.
Fasst man das Unendlichwerden von f(z) als ein Nullwerden mit negativem
Exponenten auf, so sagen die beiden Gleichungen aus, dass ∫
d logf(z) um
einen Punkt herum genommen, in welchem f(z) null von dernten Ordnung
ist, gleich 2npii ist. [Wird f(z) in dem Punkte von dernten Ordnung unend-
lich, so hat man nur−n an Stelle vonn zu setzen.]
Fig. 16.
Eswerdenundie innerhalbA (Fig. 16) eindeutige
Funktion f(z) in den Punkten
z=a1,a2, . . .aµ
null von den Ordnungen
m1,m2, . . .mµ
und in den Punkten
z= b1,b2 . . .bν
unendlich von den Ordnungenn1,n2, . . .nν, wom1 . . .mµ,n1 . . .nν positive
ganze Zahlen bedeuten, wobei µ und ν endliche Zahlen sein mu¨ssen, und
betrachten wir ∫
A d logf(z) = ∫
A f′(z)
f(z) dz
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher