Page - 39 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

39 15. Ich untersuche nun das Verhalten von w= ∫ z 1 dz z = logz. Das Integral ist in der Umgebung eines jeden von 0 und∞ verschiedenen Punktes eindeutig. Ist aber z in die Na¨he von 0 geru¨ckt, so ist, da∫ _ 0 dz z = 2pii sich ergiebt,w nicht mehr eindeutig. Es a¨ndert sich das Integral beim Um- kreisen des Punktes 0 um 2pii, wenn das Umkreisen derart stattfindet, dass derPunkt0 links liegenbleibt, undum−2pii,wennderPunkt0 rechts liegen bleibt. Es ist ferner ∫ _∞ dz z =−2pii es a¨ndert also w seinen Wert um−2pii, wenn der Punkt z den Punkt∞ so umkreist, dass dieser links liegen bleibt. Ist alsow1 der Wert vonw fu¨r z = z1, so istw=w1 + 2mpii der Wert vonw, welchen es u¨berhaupt fu¨r z= z1 annehmenkann,wennmeinebeliebigeganze+oder−Zahlbedeutet, die davon abha¨ngt, wie oft man mit z den Punkt 0 oder∞ umkreist, bevor man in z1 anlangt. Denn dass der Unterschied der Werte u¨berhaupt nur eine Konstante sein kann, ersieht man daraus, dass dwdz = 1 z eine eindeutige Funktion ist. w ist also eine unendlich vieldeutige Funktion von z und zwar kann w= logz fu¨r reelle Werte von z reell genommen werden, sobald z die reelle Achse von ist, R(x) = m∑ i=1 [ R(z) x−z ] (z−bi)−1 Nun ist fu¨r die Umgebung von bi R(z) = A (i) 1 z−bi+ A (i) 2 (z−bi)2 + · ·· A (i) ni (z−bi)ni +B0+B1(z−bi)+ · ·· und 1 x−z= 1 x−b+ z−bi (x−bi)2 + · ·· (z−bi)ni−1 (x−bi)ni + · ·· , also [ R(z) x−z ] (z−bi)−1 = A (i) 1 x−bi+ A (i) 2 (x−bi)2 + · ··+ A (i) ni (x−bi)ni und daher R(x) = m∑ i=1 [ A (i) 1 x−bi+ A (i) 2 (x−bi)2 + · ··+ A (i) n (x−bi)ni ] , was mit der in 12 S. 30 erhaltenen Formel u¨bereinstimmt.