Page - 44 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen. 1. Die allgemeine eindeutige doppeltperiodische FunktionF(u) genu¨gt den beiden Gleichungen F(u+Ω) =F(u) F(u+Ω′)=F(u), d. h. der Wert der Funktion bleibt ungea¨ndert, wenn man zu dem Argumen- te u die konstante Gro¨sseΩ oderΩ′ addirt.Ω,Ω′ heissen die Perioden. Es ist ohne weiteres klar, dass auch F(u+mΩ+m′Ω′) =F(u) sein wird, wennmundm′ beliebige ganze positive oder negative Zahlen be- deuten, denn da sich F(u) nicht a¨ndert bei Addition vonΩ oderΩ′ zum Argument, so kann es sich bei Subtraktion dieser Gro¨ssen vom Argumente auch nicht a¨ndern und ebensowenig bei wiederholter Addition oder Subtrak- tion. Es besitzt also F(u) nicht blos zwei Perioden, sondern unendlich viele, aber alle u¨brigen Perioden sind ganzzahlige Vielfache der beiden ersten Pe- riodenΩ undΩ′. Die Perioden, aus denen sich alle u¨brigen als ganzzahlige Vielfache ablei- ten lassen, heissen primitive Perioden. Ω,Ω′ sind primitive Perioden. Es giebt aber auch unendlich viele primi- tive Perioden. Denn setzt man mΩ+m′Ω′=ω µΩ+ µ′Ω′=ω′ und bestimmt µ, µ′ so, dass, wennm,m′ keinen gemeinschaftlichen Faktor haben, mµ′−m′µ= 1 ist, so folgt Ω= µ′ω−m′ω′ Ω′=−µω+mω′, d. h.Ω,Ω′ sind ganzzahlige Vielfache von ω, ω′ und daher lassen sich alle Perioden, die ganzzahlige Vielfache von Ω, Ω′ sind, auch als ganzzahlige Vielfache vonω,ω′ darstellen oderω,ω′ sind primitive Perioden.