Page - 45 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

45 2. Damit eine doppeltperiodische Funktion mo¨glich ist, welche die Peri- odenΩ,Ω′ besitzt, darf der Quotient Ω Ω′ nicht reell sein. Denn wa¨re erstens Ω Ω′= m n ,womundnganze rationaleZahlenohnegemeinschaftlichenTheiler sind, so bestimme man zwei ganze Zahlenµund ν so, dass mν+nµ= 1 ist und setze νΩ+ µΩ′= δ nΩ−mΩ′= 0, dann ist δ eine Periode und es folgt Ω=mδ Ω′=nδ, d. h.Ω undΩ′ sind ganzzahlige Vielfache der einen Periode δ, es ist also die Funktion, welche die PeriodenΩ,Ω′ besitzt, nur einfach periodisch und hat die Periode δ. Wa¨re zweitens Ω Ω′ irrational, so kann man einen Kettenbruch bilden, der diesen Quotienten mit beliebiger Anna¨herung darstellt. Ist ZnNn der nte Na¨herungswert, so wird Ω Ω′− Zn Nn =± ε N2n und ε<1 sein, oder NnΩ−ZnΩ′=±εΩ ′ Nn ist auch eine Periode. Da aberNn u¨ber alle Grenzen wa¨chst, so wird die PeriodeNnΩ=ZnΩ ′unendlich klein, d. h. die Funktion bleibt unvera¨ndert, wennmandasArgumentumunendlichwenig a¨ndert, solcheFunktionenwol- len wir aber ausschliessen. Ist die Funktion eine Funktion des komplexen Ar- gumentsu=x+iy, so muss sie eine Konstante sein, da sie durch A¨nderung des Argumentes nicht blos in der Richtung vonΩ, die mit der vonΩ′ zusam- menfa¨llt, konstant bleibt, sondern zufolge der Grundeigenschaft der komple- xen Funktion bei der A¨nderung in jeder Richtung konstant bleiben muss.∗) ∗) Es la¨sst sich auch zeigen, worauf hier nicht eingegangen werden soll, dass eine eindeu- tigeFunktioneinerVariablenmitmehralszweivoneinanderunabha¨ngigenPeriodennicht existiren kann. Vergl. Ko¨nigsberger, Theorie der ellipt. Funktionen. I. Theil. S. 363.