Page - 47 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

47 4. Bevor wir dazu u¨bergehen, die fundamentalen Eigenschaften der dop- peltperiodischen Funktionen zu entwickeln, wollen wir spezielle doppeltpe- riodische Funktionen aufstellen, damit an der Existenz der Funktionen kein Zweifel obwaltet. Gesetzt wir ha¨tten eine eindeutige einfach periodische Funktion mit der Periodeω gefunden, welche den beiden Gleichungen genu¨gt: f(u+ω) =f(u) f(u+ω′) =f(u)e−(2u+ω′) pii ω und wir bilden die Funktion F(u) = f(u) f(u+ 12ω) , von der wir nachweisen ko¨nnen, dass sie keine Konstante ist, dann wird F(u+ω) = F(u) F(u+ω′)=−F(u), also F(u+2ω′) =F(u), d. h. F(u) wird eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden ω,2ω′ sein. Solche Funktionen f(u), wie wir sie forderten, ko¨nnen wir aber in der That leicht aufstellen. Es sind das die Thetafunktionen, zu denen wir daher u¨bergehen wollen.