Page - 51 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

51 und die Reihe ∞∑ 1 e(n 2ω′+2nu)piiω konvergirt fu¨r alle endlichen Werte vonu. Die zweite Halbreihe 0∑ −∞ e(n 2ω′+2nu)piiω = 1+ −1∑ −∞ e(n 2ω′+2nu)piiω transformiren wir durch die Substitutionn=−m in 1+ ∞∑ m=1 e(m 2ω′−2mu)piiω , wodurch die Summe dieselbe ist, wie die fru¨here, nur−u stattu gesetzt. Da aber die fru¨here Reihe, sobald β> 0 ist, fu¨r jedes endliche u konvergirt, so konvergirt sie auch fu¨r−u, d. h. die letzte Reihe konvergirt unter derselben Bedingung. Wir haben also: Die Reihe +∞∑ n=−∞ e(n 2ω′+2nu)piiω konvergirt unbedingt und gleichma¨ssig fu¨r alle endlichen u, sobald der Koef- fizient von i in ω ′ ω positiv ist. Wir setzen ϑ3(u) = +∞∑ n=−∞ e(n 2ω′+2nu)piiω (B) soersehenwir,dassϑ3(u) eineeindeutige, fu¨r jedes endlicheuendlicheFunk- tion ist, welche die Eigenschaft besitzt, dass ϑ3(u+ω) =ϑ3(u) ϑ3(u+ω ′) =ϑ3(u)e−(2u+ω ′)piiω ist.DieseEigenschaftenbestimmen,wiewirsehenwerden,dieFunktionϑ3(u) bis auf einen konstanten Faktor, indem die allgemeinste Funktion f(u), wel- che diese Eigenschaften besitzt, sich gleich A0ϑ3(u) =f(u) ergiebt.