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52 II. Theorie der Thetafunktionen. 6. WirwollenausderFunktionϑ3(u)durchHinzufu¨genvonhalbenPerioden noch drei andere Funktionen ableiten. Und zwar setzen wir ϑ0(u) =ϑ3(u− 12ω) = +∞∑ n=−∞ e[n 2ω′+2n(u−12ω)]piiω = +∞∑ n=−∞ (−1)ne(n2ω′+2nu)piiω ϑ2(u) = e 1 2(2u+ 1 2ω) pii ω ·ϑ3(u+ 12ω′) = e 1 2(2u+ 1 2ω) pii ω +∞∑ n=−∞ e(n 2ω′+nω′+2nu)piiω = +∞∑ n=−∞ e[n 2ω′+nω′+14ω ′+(2n+1)u]piiω = +∞∑ n=−∞ e[(n+ 1 2) 2ω′+2(n+12)u] pii ω ; ϑ1(u) =ϑ2(u− 12ω) = e 1 2(2u−ω+12ω′)piiω ·ϑ3(u− 12ω+ 12ω′) = +∞∑ n=−∞ e[(n+ 1 2) 2ω′+2(n+12)(u−12ω)]piiω = +∞∑ n=−∞ (−1)−(n+12)e[(n+12)2ω′+2(n+12)u]piiω = 1 i +∞∑ n=−∞ (−1)ne[(n+12)2ω′+2(n+12)u]piiω Mit Ru¨cksicht auf das Verhalten von ϑ3(u) gegenu¨ber den Perioden ω und ω′ erha¨lt man zufolge der Definitionsgleichungen der ϑ3-Funktion die