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56 II. Theorie der Thetafunktionen. b) ε= 0, ε′=−1: ϑ(u,κ,κ′−1)=(−1)κ(κ ′−1) 2 ϑ0 ( u+κ′ω2 +κ ω′ 2 ) eκ(u+ κ 4ω ′)piiω ϑ3(u)=ϑ0 ( u+ ω2 ) =ϑ0 ( u− ω2 ) ϑ2(u)=ϑ0 ( u+ ω2 + ω′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω ϑ1(u)= 1 iϑ0 ( u+ ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω . (IV) c) ε= 1, ε′= 0: ϑ(u,1+κ,κ′)=(−1)κκ ′ 2 ϑ2 ( u+κ′ω2 +κ ω′ 2 ) eκ(u+ κ 4ω ′)piiω ϑ3(u)=ϑ2 ( u+ ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω ϑ0(u)= 1 iϑ2 ( u− ω2 + ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω ϑ1(u)=ϑ2 ( u− ω2 ) =−ϑ2 ( u+ ω2 ) . (V) d) ε= 1, ε′=−1: ϑ(u,1+κ,κ′+1)=(−1)κ(κ ′−1) 2 ϑ1 ( u+κ′ω2 +κ ω′ 2 ) eκ(u+ κ 4ω ′)piiω ϑ3(u)=ϑ1 ( u+ ω2 + ω′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω ϑ0(u)= 1 iϑ1 ( u+ ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω ϑ2(u)=ϑ1 ( u+ ω2 ) =−ϑ1 ( u− ω2 ) . (VI) 9. DieReihen fu¨rdieϑ-Funktionenko¨nnennoch inandererFormdargestellt werden. Man setze mit Jacobi, dem Begru¨nder der Theorie derϑ-Funktionen, e ω′ ωpii= q, so wissen wir, dass modq < 1 ist, da ω ′ ω einen positiven Koeffizienten von i besitzt. Es wird dann ϑ3(u) = +∞∑ n=−∞ e(n 2ω+2nu)piiω = +∞∑ n=−∞ qn 2 e2n u ωpii = −1∑ n=−∞ qn 2 e2n u ωpii+1+ ∞∑ n=1 qn 2 e2n u ωpii