Page - 61 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

61 ist, so ist logϑ1(u−α) = log(−1)+logϑ1(u′−α)−(2u′−2α+ω′) pii ω d logϑ1(u−α) =d logϑ1(u′−α)− 2pii ω du′ ∣∣∣ω ′∫ ω+ω′ d logϑ1(u−α) = ∣∣∣0∫ ω d logϑ1(u ′−α)− 2pii ω ∣∣∣0∫ ω du′ =− ∣∣∣ω∫ 0 d logϑ1(u ′−α)+2pii. Im zweiten Integral setzen wiru′+ω=u; da dann d logϑ1(u ′−α) =d logϑ1(u−α) wird, so ist ∫ ω+ω′ ω d logϑ1(u−α) = ∫ ω′ 0 d logϑ1(u ′−α). Fu¨hrt man diese Werte der Integrale in obige Gleichung ein, und ersetzt die Integrationsvariableu′ durchu, so wird 2piin= ∫ 0abc d logϑ1(u−α) = ∣∣∣ω∫ 0 d logϑ1(u−α)− ∣∣∣ω ′∫ 0 d logϑ1(u−α) − ∣∣∣ω∫ 0 d logϑ1(u−α)+2pii− ∣∣∣ω ′∫ 0 d logϑ1(u−α) = 2pii, d. h. n= 1; es verschwindet also ϑ1(u−α) nur einmal innerhalb des Peri- odenparallelogrammes und zwar fu¨ru=αund daher sind alle Werte vonu, fu¨r welche ϑ1(u) = 0 ist, enthalten in u=mω+m′ω′.