Page - 65 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

65 man in dem dritten Integral u durch u′+Ω′, so wird u′ die Werte vonΩ nach 0 durchlaufen und da auch F(u′+Ω′) =F(u′) ist, so wird∫ Ω′ Ω+Ω′ d logF(u) = ∫ 0 Ω d logF(u′+Ω′) = ∫ 0 Ω d logF(u), also ist∫ A d logF(u) = ∫ Ω 0 d logFu+ ∫ Ω′ 0 d logFu+ ∫ 0 Ω d logFu+ ∫ 0 Ω′ d logFu= 0, da sich das erste und dritte, sowie das zweite und letzte Integral gegenseitig aufheben. Mithin ist m=n, wodurch der ausgesprochene Satz bewiesen ist. 13. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion nimmt einen beliebig gegebe- nen WertA eben so oft an, als sie unendlich oder null wird. DennF(u)−A ist eine doppeltperiodische Funktion von u, welche genau so oft unendlich wird, wie F(u), also muss F(u)−A= 0 eben so oft werden, als F(u) un- endlich oder F(u) = 0 wird. Hierbei ist als Voraussetzung, dass F(u) =A fu¨r u= awird, aber so, dass F′(a) nicht null ist, weil sonst F(u)−A fu¨r u= a zweimal null werden wu¨rde. Ist alsoA=F(a) undF′(a) = 0, so ist eine solche Stelle so zu za¨hlen, dassF(a) zweimal gleichAwird. Man nennt eine doppeltperiodische Funktion, welche im primitiven Peri- odenparallelogrammn-mal unendlich wird, eine doppeltperiodische Funktion nter Ordnung. In dem Vorstehenden und Folgenden ist n stets als endliche Zahl anzunehmen. (Vergleiche die Bedingungen fu¨r den Satz 13 und 8 der Einleitung.) Dann ko¨nnen wir die Sa¨tze 12 und 13 einfach so ausdru¨cken: Eine doppeltperiodische Funktion nter Ordnung nimmt jeden Wert ge- nau n-mal in einem primitiven Periodenparallelogramme an, d. h. wenn das Argument u derselben nur Werte annimmt von der Form ξΩ+ ξ′Ω′, wo 05 ξ<1,05 ξ′<1.