Page - 68 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

68 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. fu¨r einen Wert von u einfach innerhalb des Periodenparallelogramms, also ko¨nntef(u)nur fu¨r einenWertvonu innerhalbdesPeriodenparallelogramms unendlich von der ersten Ordnung werden, und daher muss f(u) eine von u unabha¨ngige Konstante sein, folglich ist ϕ(u) =C ·ϑ(u,ε,ε′). 15. Wird F(u) =A nur fu¨r u= u1,u2 . . .un, ohne dass F ′(uν) = 0 wa¨re, ist alsoF(u) eine doppeltperiodische Funktionnter Ordnung, so ist u1 +u2 +u3 + · ··un= c, wo c eine von u und vonA unabha¨ngige Gro¨sse ist (Liouville’scher Satz). Es seiF(u) =∞ fu¨r u=α1,α2 . . .αn, diese also lauter einfache Unend- lichkeitsstellen und alle im ersten Periodenparallelogramm. Dann ist J= ∫ A ud log(F(u)−A) = ∫ A uF′(u) F(u)−Adu = 2pii [ n∑ ν=1 ∫ _ uν uF′(u) F(u)−Adu+ n∑ ν=1 ∫ _ αν uF′(u) F(u)−Adu ] nach Satz 14 S. 37. Es ist aber∫ _ uν uF′(u) F(u)−Adu= 2piiuν [ F′(u) F(u)−A ] (u−uν)−1 = 2piiuν, denn es istF′(u)−A= (u−uν)ϕ(u), woϕ(uν) =B≶0 ist, also ist d du log(F(u)−A) = 1 u−uν + ϕ′(u) ϕ(u) = F′(u) F(u)−Adu undϕ(u) verschwindet nicht in der Umgebung von uν, wird auch nicht un- endlich, also ist ϕ′(u) ϕ(u) endlich. Genau so ergibt sich∫ αν uF′(u) F(u)−Adu=−2piiαν, da d du log(F(u)−A) = −1 u−α+ ϕ′(u) ϕ(u) = F′(u) F(u)−Adu