Page - 73 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

73 wobei n∑ ν=1 βν− n∑ ν=1 αν=κ′Ω−κΩ′ ist.Manerkennthieraus,dass fu¨r einedoppeltperiodischeFunktionnichtalle Werte gegeben sein ko¨nnen, fu¨r welche sie verschwindet und unendlich gross wird, sondern dass einer dieser Werte der Bedingung gema¨ss∑ βν− ∑ αν≡0 (modΩ,Ω′) bestimmt werden muss, sobald alle u¨brigen gegeben sind. Die obige Form vonF(u) la¨sst sich noch etwas modificiren. Nach7,S. 54,Formel (4) ist,wennε= 1,ε′=−1und2κ′,−2κ anStelle vonκ′,κ gesetzt werden: ϑ1(v+κ′Ω−κΩ′)=ϑ(v,1−2κ,−1+2κ′)e2κ ( v+2κ ′−1 2 Ω−κ2Ω′ ) pii Ω =(−1)κ′−κϑ1(v)e2κ v Ωpii−κ2Ω ′ Ωpii, daher e2κ v Ωpii= (−1)κ′−κeκ2Ω ′ Ωpii ϑ1(v+κ′Ω−κΩ′) ϑ1(v) ; setzt man nun v=u−∑βν=u−∑αν−(κ′Ω−κΩ′), so wird e2κ u Ωpii= (−1)κ′−κe2κ P β Ω piieκ 2Ω′ Ωpii ϑ1(u− ∑ αν) ϑ1(u− ∑ βν) , oder wenn (−1)κ′−κe2κ P β Ω piieκ 2Ω′ Ωpii= c gesetzt wird e2κ u Ωpii= c ϑ1(u− ∑ αν) ϑ1(u− ∑ βν) . Setzt man nun diesen Wert fu¨r die Exponentielle inϕ(u) ein, la¨sst c inC eingehen, so wird: F(u) =C ϑ1(u−β1)ϑ1(u−β2) . . .ϑ1(u−βn)ϑ1(u− ∑ αν) ϑ1(u−α1)ϑ1(u−α2) . . .ϑ1(u−αn)ϑ1(u− ∑ βν) , wo nur lauterϑ1-Funktionen auftreten. Man ersieht sehr leicht, dass, wenn u= β1 eine µ-fache Nullstelle von- F(u) wa¨re, dann statt ϑ1(u− β1) der Faktor [ϑ1(u− β1)]µ aufzutreten brauchte, damit dieselben Schlu¨sse, wie fru¨her, gelten, denn dann muss in∑ αν . . .α1 µ-mal auf treten, also ∑ αν=µα1 +α2 +α3 + . . .αn sein.