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74 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. 17. Die doppeltperiodischen Funktionen niedrigster Ordnung, welche exi- stiren, sind die zweiter Ordnung. Es seiϕ(u) eine solche Funktion, so wird dieselbe innerhalb des Periodenparallelogramms Ω, Ω′ zweimal unendlich gross und zwar sei diess fu¨ru=γ1,γ2 der Fall. Wir setzen γ1 +γ2 = c. Soll nunϕ(u) =Aundϕ(v) =A sein, so muss u+v≡ c (modΩ,Ω′)), d. h. v= c−u+κ′Ω−κΩ′, daher ist ϕ(u) =ϕ(c−u+κ′Ω−κΩ′) =ϕ(c−u). Setzt man fu¨ru· ·· c2 +u ein, so wird ϕ (c 2 +u ) =ϕ (c 2−u ) , d. h.ϕ (c 2 +u ) ist eine gerade doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung vonu, welche unendlich wird fu¨ru gleich γ1−γ2 2 und − γ1−γ22 , denn es ist ϕ ( c 2 + γ1−γ2 2 ) =ϕ(γ1) =∞, ϕ ( c 2− γ1−γ22 ) =ϕ(γ2) =∞. Sind γ1 und γ2 von einander verschieden, so wird ϕ(u) fu¨r jede Stelle einfach unendlich,dannwerden γ1−γ22 und−γ1−γ22 einander nicht congruent nach den Perioden sein; denn wa¨re γ1−γ2 2 ≡−γ1−γ22 (modΩ,Ω′), so mu¨sste γ1−γ2≡0 (modΩ,Ω′) oder γ1≡γ2 (modΩ,Ω′) sein,waswirnichtvoraussetzten;daherwirdϕ (c 2 +u ) auch fu¨r zweivonein- ander verschiedene Stellen des Periodenparallelogramms einfach unendlich, an denen, fu¨r welche u≡±γ1−γ22 (modΩ,Ω′).