Page - 75 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

75 Wa¨re aber γ1 = γ2, dann mu¨sste ϕ(u) fu¨r u= γ1 doppelt unendlich gross werden, dann wird aber auch ϕ (c 2 +u ) =ϕ(γ1 +u) fu¨ru= 0 doppelt unendlich gross. Da ϕ (c 2 +u ) =ϕ (c 2−u ) ist, so ist ϕ′ (c 2 +u ) =−ϕ′(c2−u) , ϕ′(u) = dϕ(u)du gesetzt, d. h.ϕ ′(c 2 +u ) ist eine ungerade doppeltperiodische Funktion mit denselben Perioden wie ϕ (c 2 +u ) oder ϕ(u). Wird γ1 nicht gleichγ2 angenommen, d. h. wirdϕ(u), also auchϕ (c 2 +u ) fu¨r zwei von ein- ander verschiedene Werte von u unendlich gross, so istϕ′ (c 2 +u ) eine dop- peltperiodische Funktion vierter Ordnung. Ist aberγ1 =γ2, so istϕ ′(c 2 +u ) eine doppeltperiodische Funktion dritter Ordnung. ϕ′ (c 2 +u ) kann als Ableitung der eindeutigen Funktion ϕ (c 2 +u ) nur unendlich werden, wenn ϕ′ (c 2 +u ) unendlich wird (cf. Satz 13, S. 34). Da fu¨r die einfache Unendlichkeitsstelle u≡ γ1−γ12 = γ′, wo γ′ im ersten Peri- odenparallelogramm liegen soll, ϕ (c 2 +u ) = A u−γ′+B+B1(u−γ ′)2 + · ·· ist, so folgt ϕ′ (c 2 +u ) =− A (u−γ′)2 +B1 + · ·· , d.h.ϕ′ (c 2 +u ) wird fu¨r jededereinfachenUnendlichkeitsstellenu≡±γ1−γ22 doppelt unendlich gross, ist also von der vierten Ordnung. Ist aber γ1 =γ2, dann muss ϕ (c 2 +u ) = A (u−γ1)2 +B0 +B1(u−γ1)2 + · ·· sein, indem das Glied mit 1(u−γ1) fehlen muss und ϕ′ (c 2 +u ) = −2A (u−γ1)3 +B1 + · ··