Page - 76 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

76 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. wird fu¨r u= γ1 dreifach unendlich gross und es fehlen die Glieder zweiter und erster Ordnung,ϕ′ (c 2 +u ) ist also von der dritten Ordnung. Wir ko¨nnen auch die Nullstellen vonϕ′ (c 2 +u ) einfach angeben. a) ϕ′ (c 2 +u ) sei von der 4. Ordnung, es besitzt dann vier Nullstellen. Nun ist ϕ′ (c 2 +u ) =−ϕ′(c2−u) , setzt manu= 0, so folgt ϕ′ (c 2 ) =−ϕ′(c2) , es muss also ϕ′ (c 2 ) = 0 sein, da es nicht unendlich sein kann, denn die Unendlichkeitsstellen vonϕ′ (c 2 +u ) sind u≡±γ1−γ22 . Setzt man ferneru=Ω2 , Ω′ 2 , Ω+Ω′ 2 , so ergiebt sich ϕ′ ( c 2 + Ω 2 ) =−ϕ′ ( c 2−Ω2 ) =−ϕ′ ( c 2 + Ω 2 ) = 0 ϕ′ ( c 2 + Ω′ 2 ) =−ϕ′ ( c 2−Ω ′ 2 ) =−ϕ′ ( c 2 + Ω′ 2 ) = 0 ϕ′ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 ) =−ϕ′ ( c 2−Ω+Ω ′ 2 ) =−ϕ′ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 ) = 0 aus demselben Grunde wie oben. Es wird daher:∗) ϕ′ (c 2 +u ) = 0 fu¨r u= 0,Ω2 , Ω′ 2 , Ω+Ω′ 2 , ϕ′ (c 2 +u ) =∞ ” u≡ γ1−γ22 , γ1−γ22 ,−γ1+γ22 ,−γ1+γ22 Daher ist auch∗) ϕ′(u) = 0 fu¨r u≡ c2, c2 +Ω2 , c2 +Ω ′ 2 , c 2 + Ω+Ω′ 2 ϕ′(u) = 0 ” u≡γ1, γ1, γ2, γ2. b) ϕ′ (c 2 +u ) sei von der 3. Ordnung und werde daher nur fu¨r u = 0 dreimal unendlich innerhalb des ersten Periodenparallelogramms. ∗) Es sollen fu¨r diese Werte diejenigen genommen werden, die ins erste Periodenparal- lelogramm fallen.