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78 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. ins erste Periodenparallelogramm u¨bertragen und setzten vor der Hand vor- aus, dass keine derselben γ1−γ22 resp.−γ1−γ22 [ den Unendlichkeitsstellen von ϕ (c 2 +u )] congruent nach den PeriodenΩ,Ω′ sei, dass ferner alle Null- und Unendlichkeitsstellen einfache sind, und daher keiner der Werteβmit denα zusammenfalle. Bilden wir dann ψ(u) =[ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +β1) ][ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +β2) ] . . . [ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +βm) ][ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +α1) ][ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +α2) ] . . . [ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +αm) ], so istψ(u) eine gerade doppeltperiodische Funktion vonumit den Perioden Ω,Ω′, siewirdnull fu¨rdieselbenWerte, fu¨rwelchef(u) = 0istundunendlich fu¨r dieselben Werte, fu¨r welche f(u) =∞ ist. Sonst wird sie aber nicht unendlich, da der Nenner sonst nicht verschwinden kann und der Za¨hler nur unendlichwird,wennϕ (c 2 +u ) =∞ ist, dannbleibtaberderBruchendlich, da sich das Unendliche im Za¨hler und Nenner gegeneinander weghebt. Es wird daher f(u) ψ(u) eine Konstante sein, also f(u) = c [ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +β1) ] . . . [ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +βm) ][ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +α1) ] . . . [ ϕ(c2 +u)−ϕ(c2 +αm) ]=R(ϕ(c2+u)), wenn R eine rationale Funktion des Argumentes ϕ (c 2 +u ) bedeutet. Die Koeffizienten von R enthalten nur die gegebenen Gro¨ssen ϕ (c 2 +β ) und ϕ (c 2 +α ) . Wu¨rde die Nullstelleβ1 µ-mal auftreten, so ersieht man, dass nur[ ϕ (c 2 +u )−ϕ(c2 +β1)]µ in den Za¨hler zu setzen ist, um dieselben Schlu¨sse anwenden zu ko¨nnen wie eben.DieFunktionR ( ϕ (c 2 +u )) bleibtnachwievoreine rationaleFunktion vonϕ (c 2 +u ) . Treten unter denαoderβ aber die Stellen γ1−γ22 und−γ1−γ22 auf, so hat man fu¨r den betreffenden Faktor ϕ (c 2 +u )−ϕ(c2 +α) nur 1ϕ(c2 +u) zu setzen, um, wie man leicht ersieht, dieselben Schlu¨sse wie fru¨her wieder anwenden zu ko¨nnen. Wu¨rde unter denβ oderα einer der Werte 0,Ω2 , Ω′ 2 , Ω+Ω′ 2