Page - 80 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

80 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. MitHilfedieserbeidenSa¨tze ergiebt sichderHauptsatz. IstF(u) einebe- liebige eindeutigedoppeltperiodischeFunktionvonumitdenselbenPerioden wieϕ(u), so ist f(u) = 12 [ F (c 2 +u ) +F (c 2−u )] eine gerade, f1(u) = 1 2 [ F (c 2 +u )−F (c2−u)] eine ungerade doppeltperiodische Funktion und daher f(u) =R ( ϕ (c 2 +u )) , f1(u) =ϕ ′(c 2 +u ) R1 ( ϕ (c 2 +u )) und da F (c 2 +u ) =f(u)+f1(u) ist, so folgt F (c 2 +u ) =R ( ϕ (c 2 +u )) +ϕ′ (c 2 +u ) R1 ( ϕ (c 2 +u )) , oder F(u) =R ( ϕ(u) ) +ϕ′(u)R1 ( ϕ(u) ) . Die rational gebrochenen FunktionenR undR1 von ϕ denken wir uns auf gleichen Nenner gebracht, dann wird auch F(u) = r ( ϕ(u) ) +ϕ′(u)r1 ( ϕ(u) ) r2 ( ϕ(u) ) sein, wo r, r1, r2 ganze rationale Funktionen vonϕ(u) sind. 19. Das Quadrat der ersten Ableitung einer doppeltperiodischen Funktion der zweiten Ordnung la¨sst sich rational und gerne durch diese ausdru¨cken. Es ist [ϕ′(u)]2 =R ( ϕ(u) ) , woR eine ganze rationale Funktion vonϕder 4. oder 3. Ordnung ist. Da ϕ′ (c 2 +u ) =−ϕ′(c2−u) ist, so ist [ ϕ′ (c 2 +u )]2 eine gerade doppeltperiodische Funktion von u und als solche also durch ϕ (c 2 +u ) allein rational auszudru¨cken, mithin ist [ϕ′(u)]2 durchϕ(u) allein rational ausdru¨ckbar.