Page - 81 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

81 Wirsetzenvoraus,dassϕ(u) =∞wird fu¨ru=γ1 undu=γ2,woγ1 und γ2 verschiedene Werte von u im ersten Periodenparallelogramm sind. Dann wird ϕ′(u) =∞ fu¨r u=γ1,γ1,γ2,γ2 ϕ′(u) = 0 ” u≡ c2, c2 +Ω2 , c2 +Ω ′ 2 , c 2 + Ω+Ω′ 2 , wenn c2 = γ1+γ2 2 ist, und fu¨r die Werte der zweiten Zeile die Punkte im ersten Periodenparallelogramm eingesetzt werden. Es ist also [ϕ′(u)]2 eine doppeltperiodische Funktion 8. Ordnung, welche fu¨ru=γ1,γ2 je von der 4. Ordnung unendlich und fu¨r u≡ c2, c2 +Ω2 , c2 +Ω ′ 2 , c 2 + Ω+Ω′ 2 je von der zweiten Ordnung null wird. Es wird [ ϕ(u)−ϕ(c2)] fu¨r u= c2 auch null von der zweiten Ordnung, denn es istϕ′ (c 2 ) = 0 ebenso werden[ ϕ(u)−ϕ ( c 2 + Ω 2 )] , [ ϕ(u)−ϕ ( c 2 + Ω′ 2 )] , [ ϕ(u)−ϕ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 )] zweimal null fu¨ru= c2 + Ω 2 , resp. c 2 + Ω′ 2 , resp. c 2 + Ω+Ω′ 2 , d. h. die doppelt- periodische Funktion[ ϕ(u)−ϕ(c2)][ϕ(u)−ϕ(c2 +Ω2)][ϕ(u)−ϕ(c2 +Ω′2)]×[ ϕ(u)−ϕ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 )] vonu ist von der 8. Ordnung und zwar wird sie nur fu¨ru=γ1,γ2 je von der 4. Ordnung unendlich und verschwindet fu¨ru= c2, c 2 + Ω 2 , c 2 + Ω′ 2 , c 2 + Ω+Ω′ 2 je von der zweiten Ordnung, also genau so wie [ϕ(u)]2 und daher muss [ϕ′(u)]2 =G2 [ ϕ(u)−ϕ(c2)][ϕ(u)−ϕ(c2 +Ω2)] × [ ϕ(u)−ϕ ( c 2 + Ω′ 2 )][ ϕ(u)−ϕ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 )] sein,woG2 einevonuunabha¨ngigeKonstante ist. [ϕ′(u)]2 ist alsoeineganze rationale Funktion 4. Ordnung vonϕ. Wu¨rdeϕ(u) doppelt unendlich blos fu¨ru=γ1, so wu¨rdeϕ ′(u) fu¨ru=γ dreifach unendlich und alle Schlu¨sse im Vorhergehenden bleiben erhalten, bis darauf, dass u = γ nicht eine Nullstelle von [ϕ′(u)]2 ist, sondern eine Unendlichkeitsstelle, und es ergiebt sich [ϕ′(u)]2 =G2 [ ϕ(u)−ϕ ( γ+Ω2 )][ ϕ(u)−ϕ ( γ+Ω ′ 2 )] , × [ ϕ(u)−ϕ ( γ+Ω+Ω ′ 2 )]