Page - 91 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

91 23. Aus den Formeln (4) ersieht man, dass s2(u+ω) = s2(u) s2(u+ω′) = s2(u) c2(u+ω) = c2(u) c2(u+ω′) = c2(u) ∆2(u+ω) =∆2(u) ∆2(u+ω′) =∆2(u), d. h. s2(u), c2(u),∆2(u) sind doppeltperiodische gerade Funktionen mit den gemeinschaftlichen primitiven Perioden ω, ω′. Sie sind alle von der zweiten Ordnung, denn jede wird nur unendlich fu¨ru= ω ′ 2 und zwar von der zweiten Ordnung, wieϑ20(u) fu¨ru= ω′ 2 . Aus Satz (18) folgt daher, dass je zwei der Funktionen sich rational durch die dritte ausdru¨cken mu¨ssen. Wir wollen c2(u) und∆2(u) durch s2(u) ausdru¨cken. Es wird c2(u) =∞ fu¨ru= ω′2 , ω ′ 2 c2(u) = 0 fu¨ru= ω2 , ω 2 nun wird s2 (ω 2 )−s2(u) fu¨ru= ω2 zweimal null, denn es ist s2(u) = s2 (ω 2 ) + ( ds2(u) du ) u=ω2 ( u− ω2 ) + 1 2 ( d2s(u) du2 ) u=ω2 ( u− ω2 )2 + · ·· also s2 (ω 2 )−s2(u) = (u− ω2)2 { −1 2 ( d2s2(u) du2 ) u=ω2 + · ·· } . Da ( ds2(u) du ) u=ω2 = 2 ( s′(u)s(u) ) u=ω2 = 2s′ (ω 2 ) ·s(ω2)= 0 ist nach (8a), d. h. [ s2 (ω 2 )−s2(u)] wird fu¨r u= ω2 gerade so oft null, wie c 2(u), es wird ferner nur fu¨r u= ω ′ 2 unendlich von der zweiten Ordnung, besitzt die Periodenω,ω′; also muss c2(u) =C [ 1−s2(u) ] ,