Page - 91 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
Image of the Page - 91 -
Text of the Page - 91 -
91
23. Aus den Formeln (4) ersieht man, dass
s2(u+ω) = s2(u) s2(u+ω′) = s2(u)
c2(u+ω) = c2(u) c2(u+ω′) = c2(u)
∆2(u+ω) =∆2(u) ∆2(u+ω′) =∆2(u),
d. h. s2(u), c2(u),∆2(u) sind doppeltperiodische gerade Funktionen mit den
gemeinschaftlichen primitiven Perioden ω, ω′. Sie sind alle von der zweiten
Ordnung, denn jede wird nur unendlich fu¨ru= ω ′
2 und zwar von der zweiten
Ordnung, wieϑ20(u) fu¨ru= ω′
2 .
Aus Satz (18) folgt daher, dass je zwei der Funktionen sich rational durch
die dritte ausdru¨cken mu¨ssen.
Wir wollen c2(u) und∆2(u) durch s2(u) ausdru¨cken.
Es wird
c2(u) =∞ fu¨ru= ω′2 , ω ′
2
c2(u) = 0 fu¨ru= ω2 , ω
2
nun wird
s2 (ω
2 )−s2(u) fu¨ru= ω2
zweimal null, denn es ist
s2(u) = s2 (ω
2 )
+ ( ds2(u)
du )
u=ω2 ( u− ω2 )
+ 1
2 ( d2s(u)
du2 )
u=ω2 (
u− ω2 )2
+ · ··
also
s2 (ω
2 )−s2(u) = (u− ω2)2 {
−1
2 ( d2s2(u)
du2 )
u=ω2 + · ·· }
.
Da ( ds2(u)
du )
u=ω2 = 2 ( s′(u)s(u)
)
u=ω2 = 2s′ (ω
2 ) ·s(ω2)= 0
ist nach (8a), d. h. [
s2 (ω
2 )−s2(u)]
wird fu¨r u= ω2 gerade so oft null, wie c 2(u), es wird ferner nur fu¨r u= ω ′
2
unendlich von der zweiten Ordnung, besitzt die Periodenω,ω′; also muss
c2(u) =C [
1−s2(u)
]
,
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher