Page - 100 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen. 27. Das Additionstheorem fu¨r die eindeutige doppeltperiodische Funktion F(u) vonu ist in folgendem Satze enthalten: F(u+v) dru¨ckt sich rational durch F(u), F′(u), F(v) F′(v) aus, wobei F′(u) = dFdu ist. Wir fassen F(u+ v) als Funktion von u auf, indem wir dem v einen beliebigen, aber konstanten Wert beilegen. Als solche istF(u+v) eine dop- peltperiodische eindeutige Funktion vonuund la¨sst sich rational durchF(u) und ihre AbleitungF′(u) ausdru¨cken (Satz 21 S. 84), d. h. es ist F(u+v) =R1 ( F(u),F′(u) ) . Die Koeffizienten von F(u) und F′(u) inR1 ha¨ngen von v ab und mu¨ssen auch doppeltperiodische Funktionen von v sein, dennF(u+v) a¨ndert sich nicht, wenn man vum die Perioden vonF(u) a¨ndert. Daher lassen sich diese Koeffizienten auch rational durchF(v) undF′(v) ausdru¨cken, und es wird F(u+v) =R ( F(u),F′(u),F(v),F′(v) ) sein, wo die jetzt auftretenden Koeffizienten vonu und v unabha¨ngig sind. Es muss R ( F(u),F′(u),F(v),F′(v) ) =R ( F(v),F′(v),F(u),F′(u) ) sein und F(u)≡R(F(u),F′(u),F(0),F′(0)) ≡R(F(0),F′(0),F′(u),F′(u)) sich ergeben. 28. WirwollendieFormeln fu¨rdasAdditionstheoremder elliptischenFunk- tionen wirklich aufstellen. Wir setzen f(u) = s(v+u)+s(v−u), indem wir v beliebig, aber vor der Hand konstant annehmen. Dann ist f(u) eine eindeutige doppeltperiodische Funktion vonumit den Perioden 2ω,ω′, welche nur unendlich wird, wenn s(v+u) oder s(v−u) unendlich wird. Nun ist s(v+u) =∞ fu¨r v+u≡ 12ω′, ω+ 12ω′ s(v−u) =∞ fu¨r v−u≡ 12ω′, ω+ 12ω′,