Page - 102 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

102 V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen. Werte von Null verschieden ist. Diese Werte, welche f(u) = 0 machen, sind nach(8a)S.77dieselben,welches′(u) = 0machen.Fu¨rdieWerte, fu¨rwelche f(u) =∞ ist, wird s2 ( v+ ω ′ 2 ) −s2(u) verschwindenundnur fu¨rdieseWerte;dennderangeschriebeneAusdruck ist im Periodenparallelogramm 2ω,ω′ eine doppeltperiodische Funktion 4. Ord- nung vonu, da er nur fu¨r u= ω ′ 2 , ω+ ω′ 2 je zweimal unendlich wird. Es wird also s′u s2 ( v+ ω ′ 2 ) −s2u null und unendlich fu¨r dieselben Werte, wie f(u) und sonst nicht. Denn fu¨r u= ω ′ 2 oder ω+ ω′ 2 werden Za¨hler und Nenner beide von der zweiten Ordnung unendlich, der Bruch bleibt also endlich . Daher ist f(u) = s(v+u)+s(v−u) =C s ′u s2 ( v+ ω ′ 2 ) −s2u , woC eine vonu unabha¨ngige Gro¨sse ist. Nach den Formeln (14b) ist s ( v+ ω ′ 2 ) = 1 κsv , also ist auch s(v+u)+s(v−u) = c κ 2s2vs′u 1−κ2s2vs2u. Setzt manu= 0, so wird 2sv= cκ2s2vG, da s′(0) =G ist und daher cκ2s2v= 2 G sv;