Page - 109 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

109 Periodenparallelogramm unendlich werden, ist also vonuunabha¨ngig. Setzt man alsou= 0, so wird %=ϑ20 auch von v unabha¨ngig und von Null verschieden. Dieselbe Betrachtung ergiebt fu¨r % aus der zweiten Gleichung denselben Wert. Also ist ϑ20ϑ1(u+v)ϑ1(u−v) =ϑ21uϑ20v−ϑ21vϑ20u ϑ20ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) =ϑ20uϑ20v−ϑ21uϑ21v. Ersetzt man in beidenudurchu− ω2 , so erha¨lt man ϑ20ϑ2(u+v)ϑ2(u−v) =ϑ22uϑ20v−ϑ21vϑ23u ϑ20ϑ3(u+v)ϑ3(u−v) =ϑ23uϑ20v−ϑ22uϑ21v. Aendert man in diesen Formeln u und v jedes um ω2 , so bleibt die linke Seite bis aufs Vorzeichen ungea¨ndert, wa¨hrend rechts andere ϑ-Funktionen auftreten; man erha¨lt daher fu¨r jede linke Seite zwei Ausdru¨cke. Es ergeben sich hierdurch folgende Formeln ϑ20ϑ1(u+v)ϑ1(u−v) =ϑ21uϑ20v−ϑ21vϑ20u =ϑ23uϑ 2 2v−ϑ23vϑ22u ϑ20ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) =ϑ20uϑ20v−ϑ21uϑ21v =ϑ23uϑ 2 3v−ϑ22uϑ22v ϑ20ϑ2(u+v)ϑ2(u−v) =ϑ22uϑ20v−ϑ21vϑ23u =ϑ20uϑ 2 2v−ϑ21uϑ23v ϑ20ϑ3(u+v)ϑ3(u−v) =ϑ23uϑ20v−ϑ22uϑ21v =ϑ20uϑ 2 3v−ϑ21uϑ22v                                  (22) DiezweiteGleichung liefertunseinebereitsbekannteRelation,wennman u= 0, v= 0 setzt, na¨mlich ϑ40 =ϑ 4 3−ϑ42 oder ϑ40 +ϑ 4 1 =ϑ 4 3, die wir auf S. 95 (13a) bereits gefunden haben. Eine Aenderung von u und v um ω ′ 2 la¨sst beide Seiten der Gleichungen (22) ungea¨ndert.