Page - 111 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

111 Wir definirten die allgemeineϑ-Funktion durch die Gleichungen ϑ(u+ω,ε,ε′) = (−1)εϑ(u,ε,ε′) ϑ(u+ω′,ε,ε′) = (−1)ε′ϑ(u,ε,ε′)e−(2u+ω′)piiω , (a) dann war ϑ(u,ε+2ν,ε′) =ϑ(u,ε,ε′) ϑ(u,ε,ε′+2µ)= (−1)εµϑ(u,ε,ε′),    (b) ϑ(−u,ε,ε′) = (−1)εε′ϑ(u,ε,ε′) (c) ϑ(u+κ′ω2 +κ ω′ 2 ,ε,ε ′) = (−1)ε ′+κ′ 2 ϑ(u,ε+κ,ε′+κ′)e−κ(u+ κ 4ω ′)piiω . (d) Wir fu¨hren folgende Gro¨ssen ein: woraus u+v+w+ t= 2u′ u+v−w− t= 2v′ u−v+w− t= 2w′ u−v−w+ t= 2t′, u′+v′+w′+ t′= 2u u′+v′−w′− t′= 2v u′−v′+w′− t′= 2w u′−v′−w′+ t′= 2t                                    (24) folgt. Betrachten wir fu¨r einen Augenblick v, w, t als konstant und nur u variabel, und setzen demgema¨ss ϑ(2u′,ε,ε′)ϑ(2v′,ε,ε′)ϑ(2w′,ε,ε′)ϑ(2t′,ε,ε′) =ϕ(2u,ε,ε′). Ersetzt man nunudurchu+ ω2 , so a¨ndert sich 2u′, 2v′, 2w′, 2t′ jedesum ω2 , alsowirdnach(d),daκ= 0ist,dasProduktdervierFunktionen u¨bergehen in ϑ(2u′,ε,ε′+1)ϑ(2v′,ε,ε′+1)ϑ(2w′,ε,ε′+1)ϑ(2t′,ε,ε′+1) =ϕ(2u,ε,ε′+1)