Page - 113 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

113 Mit Ru¨cksicht auf die Gleichungen (a) folgt hieraus, dass Φ(2u) = c ·ϑ(2u,0,0) ist, wo c vonu abha¨ngig ist. Fu¨hrt man inϕ(2u,ε,ε′) an Stelle vonw′,t′ . . .−w′,−t′ ein, so wird das Produkt ϑ(2w′,ε,ε′)ϑ(2t′,ε,ε′) =ϑ(−2w′,ε,ε′)ϑ(−2t′,ε,ε′), d. h.ϕ(2u,ε,ε′) bleibt ungea¨ndert. Zufolge der Gleichungen (24) tritt aber an Stelle von u...v. Daher ist Φ(2u) dieselbe Funktion von v, wie vonu, d. h. es ist Φ(2u,2v) = cϑ(2v,0,0)ϑ(2u,0,0), wo c vonu und v unabha¨ngig sind. Fu¨hrt man nun−v′,−t′ an Stelle von v′, t′ und dann−v,−w′ an Stelle von v′,w′ ein, so erkennt man, dassΦ auch vonw und t dieselbe Funktion sein muss, wie vonu d. h. dass Φ(2u,2v,2w,2t) = cϑ(2u,0,0)ϑ(2v,0,0)ϑ(2w,0,0)ϑ(2t,0,0) ist, wo c vonu, v,w, t unabha¨ngig ist. Wir erhalten mithin die Gleichung c ·ϑ3(2u)ϑ3(2v)ϑ3(2w)ϑ3(2t) = ∑ ε,ε′ ϑ(2u′,ε,ε′)ϑ(2v′,ε,ε′)ϑ(2w′,ε,ε′)ϑ(2t′,ε,ε′) =ϑ3(2u ′)ϑ3(2v′)ϑ3(2w′)ϑ3(2t′) =ϑ0(2u ′)ϑ0(2v′)ϑ0(2w′)ϑ0(2t′) =ϑ2(2u ′)ϑ2(2v′)ϑ2(2w′)ϑ2(2t′) =ϑ1(2u ′)ϑ1(2v′)ϑ1(2w′)ϑ1(2t′).                          (f) Um c zu bestimmen, ko¨nnen wir u= 0, v= 0, w= 0, t= 0, also auch u′= 0, v′= 0, w′= 0, t′= 0, setzen, dann folgt cϑ43 =ϑ 4 3 +ϑ 4 0 +ϑ 4 2