Page - 117 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

117 wenn wir rechts die Summation u¨ber η,η′mit der u¨ber ε,ε′ vertauschen: c ∑ η,η′ ϑ(2u′,η,η′)ϑ(2v′,η,η′)ϑ(2w′,η,η′)ϑ(2t′,η,η′) = ∑ ε,ε′ ∑ η,η′ (−1)εη′+ε′ηϑ(2u,ε,ε′)ϑ(2v,ε,ε′)ϑ(2w,ε,ε′)ϑ(2t,ε,ε′) = ∑ ε,ε′   ϑ(2u,ε,ε′)ϑ(2v,ε,ε′)ϑ(2w,ε,ε′)ϑ(2t,ε,ε′) ·∑ η,η′ (−1)εη′+ε′η   . Der zu jedem Summanden fu¨r ein bestimmtes εε′ zutretende Faktor∑ η,η′ (−1)εη′+ε′η ist aber null, sobald nicht ε= 0, ε′= 0 ist, denn es ist∑ η,η′ (−1)ε′η+εη′= (−1)+(−1)ε′+(−1)−ε+(−1)ε−ε′= 0, wenn nicht ε= 0, ε′= 0 ist. Fu¨r ε= 0, ε′= 0 wird∑ η,η′ (−1)ε′η+εη′= 4 und daher ist: c ∑ η,η′ ϑ(2u′,η,η′)ϑ(2v′,η,η′)ϑ(2w′,η,η′)ϑ(2t′,η,η′) = 4ϑ(2u,0,0), ϑ(2v,0,0), ϑ(2w,0,0), ϑ(2t,0,0). Aus der Gleichung (f) auf Seite 113 folgt aber, wenn man beide Seiten mit cmultiplizirt und ηη′ statt εε′ schreibt: c ∑ η,η′ ϑ(2u′,η,η′)ϑ(2v′,η,η′)ϑ(2w′,η,η′)ϑ(2t′,η,η′) = c2ϑ(2u,0,0)ϑ(2v,0,0)ϑ(2w,0,0)ϑ(2t,0,0), daher ist c2 = 4 und c=±2.