Page - 119 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

119 (µµ′, ν ν′ ganze Zahlen), so folgt: η− %− σ= η− 2(µ− ν− σ) η′−%′−σ′=η′−2(µ′−ν′−σ′) d. h. die Charakteristik der viertenϑ ist auch (η,η′). Wa¨hlt man zwei derϑmit denselben Charakteristiken, so haben die zwei u¨brigen auch gleiche Charakteristiken. Denn ist η+ %= η+ 2ν η′+%′=η′+2ν′ so folgt, dass η− %− σ= η+ σ− 2(ν+ σ) η′−%′−σ′=η′+σ′−2(ν′+σ′) ist, und dass also die anderen zweiϑ gleiche Charakteristik besitzen. Hieraus folgt: Nimmt man bei drei der ϑ verschiedene Charakteristiken an, so hat die vierteϑdie noch u¨brigbleibende vierte Charakteristik. In der Formel (25) sind also 20 verschiedene Formeln enthalten, na¨mlich: 4 Formeln, in denen linker Hand dieselbeϑ-Funktion auftritt, 4 ,, ,, ,, ,, ,, vier verschiedene, 2 ·6 ,, ,, ,, ,, ,, zwei gleiche ϑ-Funktionen auftreten. Wir wollen diese Formeln hier folgen lassen. Setzt man zur Abku¨rzung: und Πκ=ϑκ(2u)ϑκ(2v)ϑκ(2w)ϑκ(2t) Π′κ=ϑκ(2u′)ϑκ(2v′)ϑκ(2w′)ϑκ(2t′), (26a) so ergiebt sich aus der Formel (25): 2Π′3 =Π3 +Π2 +Π1 +Π0 fu¨r η= 0,η′= 0;%= 0,%′= 0; σ= 0,σ′= 0; 2Π′2 =Π3 +Π2−Π1−Π0 ” η= 1,η′= 0;%= 0,%′= 0; σ= 0,σ′= 0; 2Π′1 =Π3−Π2 +Π1−Π0 ” η= 1,η′=−1;%= 0,%′= 0; σ= 0,σ′= 0; 2Π′0 =Π3−Π2−Π1 +Π0 ” η= 0,η′=−1;%= 0,%′= 0; σ= 0,σ′= 0; (26)