Page - 125 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

125 nach v differentiiren und dϑvdv =ϑ ′v setzen, wobei also dϑ(u+v) dv = dϑ(u+v) d(u+v) =ϑ′(u+v) folgt, dau als konstant betrachtet wird, wa¨hrend dϑ(u−v) dv =−ϑ′(u−v) ist, so ergiebt sich ϑ2ϑ3 [ ϑ′1(u+v)ϑ0(u−v)−ϑ1(u+v)ϑ′0(u−v) ] =ϑ0uϑ1u [ ϑ′2vϑ3v+ϑ2vϑ′3v ] +ϑ2uϑ3u [ ϑ′0vϑ1v+ϑ0vϑ′1v ] . Setzt man nun v= 0, so wird, da ϑ′0(0) = 0, ϑ′3(0) = 0, ϑ′2(0) = 0 ist, dennϑ′0(v),ϑ′3(v),ϑ′2(v) sind ungerade Funktionen von v, ϑ2ϑ3 [ ϑ′1uϑ0u−ϑ1uϑ′0u ] ϑ0ϑ ′ 1ϑ2uϑ3u. Diese Gleichung zweimal nachudifferentiirt liefert: ϑ2ϑ3 [ ϑ′′′1uϑ0u+ϑ′′1uϑ′0u−ϑ′1uϑ′′0u−ϑ1uϑ′′′0u ] =ϑ0ϑ ′ 1 [ ϑ′′2uϑ3u+2ϑ′2uϑ′3u+ϑ2uϑ′′3u ] . Es ist aber auch ϑ′′′0 = 0, ϑ′′1 = 0, da beide Funktionenϑ′′′0 (u) undϑ′′1(u) ungerade Funktionen vonu sind, man erha¨lt also, wennu= 0 gesetzt wird, ϑ2ϑ3 [ ϑ′′′1ϑ0−ϑ′1ϑ′′0 ] =ϑ0ϑ ′ 1 [ ϑ′′2ϑ3 +ϑ2ϑ′′3 ] und daϑ′1,ϑ2,ϑ3,ϑ0 nicht null sind, die Relation ϑ′′′1 ϑ′1 = ϑ′′2 ϑ2 + ϑ′′3 ϑ3 + ϑ′′0 ϑ0 . (33) Es ist die allgemeineϑ-Funktion durch die Gleichung definirt gewesen: ϑ(u,ε,ε′) = +∞∑ m=−∞ e [ (m+ε2) 2 ω′+2(m+ε2) ( u+ε ′ 2ω )] pii ω .