Page - 127 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

127 also fu¨r die vierϑ-Funktionen: ϑ′′3u= 4pii ω dϑ3u dω′ , ϑ ′′ 0u= 4pii ω dϑ0u dω′ , ϑ′′2u= 4pii ω dϑ2u dω′ , ϑ ′′ 1u= 4pii ω dϑ1u dω′ , daher fu¨r die Nullwerte des Argumentes: ϑ′′3 = 4pii ω dϑ′3 dω′ , ϑ ′′ 0 = 4pii ω dϑ′0 dω′ , ϑ ′′ 2 = 4pii ω dϑ2 dω′ . Die letzte liefert ϑ′′1 = 0, wird sie aber noch einmal nach u differentiirt, so ergiebt sich ϑ′′′1u= 4pii ω dϑ′1u dω′ und daher ϑ′′′1 = 4pii ω dϑ′1 dω′ . Fu¨hrt man die eben erhaltenen Werte in (33) ein, so nimmt diese die Gestalt an: 1 ϑ′1 dϑ′1 dω′ = 1 ϑ3 dϑ3 dω′+ 1 ϑ2 dϑ2 dω′+ 1 ϑ0 dϑ0 dω′ , in welcher Form sie eine vollsta¨ndige Differentialgleichung nachω′ darstellt, die integrirt logϑ′1 = logcϑ3ϑ2ϑ0 oder ϑ′1 = cϑ3ϑ2ϑ0 liefert, wobei c vonω′ unabha¨ngig ist. Da nun ϑ′1 = 4pi ω ∞∑ 0 (−1)n(n+ 12)q(n+ 1 2) 2 = 2pi ω q 1 4(1−3q2 + · ··) ϑ0 = 1+2 ∞∑ 1 (−1)nqn2 = 1−2q+2q4−··· ϑ3 = 1+2 ∞∑ 1 qn 2 = 1+2q+2q4 + · ·· ϑ2 = 2q 1 4 ∞∑ 1 qn(n−1) = 2q 1 4(1+q2 +q6 · ··)