Page - 131 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

131 welches reelle Werte von su sind. Ebenso mu¨ssen diese Linien fu¨r cu durch u= 0, u= ω2 , u=ω, u= 3 ω 2 , u=ω+ ω′ 2 , u= 2ω+ ω′ 2 , fu¨r ∆u durch u= 0, u= ω2 + ω′ 2 , u= ω 2 + 3ω′ 2 , u= ω′ 2 , u=ω ′, u= 3ω′2 gehen, da fu¨r diese Argumente die Funktionen reell sind. Ich will zwei spezielle Fa¨lle wegen ihres ha¨ufigen und fast ausschliessli- chen Vorkommens in der Anwendung der elliptischen Funktionen besonders hervorheben. Fig. 25. 1. Es sei ω reell positiv und ω′ = ω˜′i rein imagina¨r, also ω˜′ reell. Dann wird q= e ω′ ωpii= e− eω′ ωpi reell und da es kleiner als 1 sein muss, so muss ω˜′ positiv sein. Das Periodenparallelogramm ω, ω′ hat also die Form eines Rechteckes (Fig. 25). Es wird κ2 = ϑ42 ϑ43 = 16q [∑∞ 1 q n(n−1) ]4 [ 1+2 ∑ qn 2 ]4 κ′2 = ϑ40 ϑ43 = [ 1+2 ∑ (−1)nqn2 ]4 [ 1+2 ∑ qn 2 ]4 , alsoκ2 undκ′2 reell und positiv, mithin beide kleiner als 1, daκ2 +κ′2 = 1 ist. Die Formeln (37) zeigen, dass fu¨r reelle Werte von u die Funktionen su, cu,∆u reell werden. Da nach den Gleichungen (14) S. 96 s ( v+ ω ′ 2 ) = 1 κsv , c ( v+ ω ′ 2 ) = 1 iκ ∆v sv , ∆ ( v+ ω ′ 2 ) = 1 i cv sv ist, so ersieht man, dass fu¨r Werte von u= v+ ω˜2i, deren imagina¨rer Theil konstant ω ′ 2 = ω˜′ 2 i, ist, wa¨hrend v reell ist, su reelle Werte annimmt, cuund ∆u aber rein imagina¨r wird.