Page - 137 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

VIII. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen durch logarithmische Differentialquotienten der ϑ-Funktionen. 34. Es mo¨ge hier noch eine Art der Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen dargelegt werden. Wir setzen Z(u) = d logϑ1(u) du = ϑ′1u ϑ1u , so ist Z(u) eine eindeutige Funktion von u, welche im Periodenparallelo- grammω,ω′ nur fu¨ru= 0 unendlich wird. Es ist ferner Z(u+ω) =Z(u) Z(u+ω′) =Z(u)− 2pii ω , wie sich aus den Formeln (I) auf S. 53 ohne weiteres ergiebt, d. h.Z′(u) = dZ(u) du = d2 logϑ1u du2 ,Z′′(u),Z′′′(u) . . .Z(n)(u) sind lauter doppeltperiodische eindeutige Funktionen von umit den Perioden ω, ω′, welche nur fu¨r u= 0 unendlich werden. Es wirdZ(u) fu¨r u= 0 unendlich von der ersten Ordnung. Denn es ist fu¨r kleine Werte vonu: ϑ1(u) =uϑ ′ 1 + 1 3! u3ϑ′′′1 + · ·· , daϑ1 = 0,ϑ ′′ 1 = 0 . . . ist, es wird ϑ1(u) =u [ ϑ′1 + 1 3! u2ϑ′′′1 + · ·· ] logϑ1(u) = logu+log ( ϑ′1 + 1 6 u2ϑ′′′1 + · ·· ) = logu+logϑ′1 + 1 6 ϑ′′′1 ϑ′1 u2 +Bu4 + · ·· da das Argument des zweiten Logarithmus in der ersten Gleichung fu¨ru= 0 nicht verschwindet; daher ist: Z(u) = d logϑ1u du = 1 u + 1 3 ϑ′′′1 ϑ′1 u+ · ·· wo nur positive ungerade Potenzen vonu folgen.