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138 VIII. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen etc. Mithin wird [uZ(u)]u=0 = 1 undZ(u) ist fu¨r u= 0 unendlich von der ersten Ordnung.Z(n)(u), wird daher fu¨ru= 0 unendlich von der (n+1)ten Ordnung, da Z(n)(u) = (−1)n(n)! un+1 +A1 + · ··pos. Pot.(u) ist.Z(n)(u) ist mithin eine eindeutige doppeltperiodische Funktion (n+1)ter Ordnung mit den Periodenω,ω′. Es sei nunF(u) eine eindeutige doppeltperiodische Funktion von umit den Perioden ω, ω′, welche fu¨r u=α1,α2 . . .αn unendlich wird und zwar, wie wir vor der Hand voraussetzen wollen, stets von der ersten Ordnung. Es sei also fu¨r kleine Werte des Moduls |u−αi| F(u) = Ai αi−u +B+B1(αi−u)+ · ·· . DaZ(u−αi) =− 1αi−u+ · ··pos. Pot.(αi−u) ist, so ist F(u)+AiZ(u−αi) fu¨r u=αi nicht mehr unendlich, daher ist ϕ(u) =F(u)+ n∑ i=1 AiZ(u−αi) fu¨r keinen der Werteα1,α2 . . .αn unendlich, und daZ(u−αi) nur fu¨r diese Werte unendlich werden kann, ebenso F(u), so wird ϕ(u) fu¨r keinen Wert vonu innerhalb des Periodenparallelogrammesω,ω′unendlich.ϕ(u) ist aber eine eindeutige doppeltperiodische Funktion vonu, denn es ist ϕ(u+ω)=ϕ(u) ϕ(u+ω′)=ϕ(u)− 2pii ω n∑ i=1 Ai, da jedesZ(u−αi+ω′) =Z(u−αi)− 2piiω ist. Da aber ∑n i=1Ai als Summe der logarithmischen Residuen fu¨r jede ein- deutige doppeltperiodische Funktion null ist (pg. 66, Sekt. 14), so ist ϕ(u+ω) =ϕ(u) ϕ(u+ω′) =ϕ(u).