Page - 139 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

139 ϕ(u) wird aber nicht unendlich innerhalb des Periodenparallelogrammes, also istϕ(u) =C und daher F(u) =C− n∑ i=1 AiZ(u−αi). (I) Wir nehmen nun an,F(u) werde fu¨ru=α1,α2, . . .αm von den Ordnun- genn1,n2, . . .nm unendlich; so dass fu¨r die Umgebung vonαi die Entwick- lung gilt F(u) = Ai,ni−1 (αi−u)ni + Ai,ni−2 (αi−u)ni−1 +· ··+ Ai αi−u +B+· ·· pos. Pot.(αi−u). Da nun Z(h)(u−αi) =− h! (αi−u)h+1 + pos. Pot(αi−u) ist, so wird Ai,ni−1 (ni−1)! Z(ni−1)(u−αi)+ Ai,ni−2 (ni−2)! Z(ni−2)(u−αi)+ · ·· Ai 0! Z(u−αi) =− [ Ai,ni−1 (αi−u)ni + Ai,ni−2 (αi−u)ni−1 + · ··+ Ai αi−u ] +B1 + p.P.(αi−u), daher wird: F(u)+ ni∑ κ=1 Ai,ni−κ (ni−κ)! Z(ni−κ)(u−αi), oder auch F(u)+ ni−1∑ h=1 Ai,h h! Z(h)(u−αi)· ··Ai,0 =Ai fu¨ru=αi nicht mehr unendlich und mithin wird F(u)+ m∑ i=1 ni−1∑ 0 Ai,h h! Z(h)(u−αi) fu¨r keinen Wert vonu innerhalb des Periodenparallelogrammesω,ω′ unend- lich, und da es eine doppeltperiodische eindeutige Funktion von u ist, ist dieselbe eine Konstante. Die doppelte Periodizita¨t folgt daraus, dass jedes Z(h)(u−αi)(h> 0) doppeltperiodisch ist, dass aber die Summe der Koeffi- zienten vonZ(u−αi), d. h. ∑m 1 Ai= 0 ist. Daher ist F(u) =C− m∑ i=1 ni−1∑ h=1 Ai,h h! Z(h)(u−αi). (II)